Глава IV. О КОЛЕБАНИЯХ СТЕРЖНЕЙ

При решении ряда технических вопросов прочности приходится иметь дело с задачами динамики. Например, при расчете многих машинных частей, участвующих в движении, приходится принимать во внимание силы инерции. И напряжения, вызываемые этими силами, иногда во много раз больше тех, которые получаются от статически действующих нагрузок. Такого рода условия мы имеем при расчете быстровращающихся барабанов и дисков паровых турбин, шатунов быстроходных машин и паровозных спарников, маховых колес и т. д. Решение таких задач может быть выполнено без особых затруднений, так как здесь деформации не играют роли: мы можем при подсчете сил инерции рассматривать тела как идеально твердые и потом, присоединив найденные таким путем силы инерции к статическим нагрузкам, привести задачу динамики к задаче статики. Эти задачи достаточно полно были рассмотрены в курсе сопротивления материалов, и мы на них здесь останавливаться не будем, а перейдем к другой группе вопросов динамики — к исследованию колебаний упругих систем под действием переменных сил. Мы знаем, что при некоторых условиях амплитуда этих колебаний имеет тенденцию возрастать и может достигнуть таких пределов, когда соответствующие ей напряжения становятся опасными с точки зрения прочности материалов. Выяснению таких условий, главным образом по отношению к колебаниям призматических стержней, и будет посвящена настоящая глава. Как частные случаи рассмотрим деформации, вызываемые в стержнях внезапно приложенными силами, и явление удара.

§ 33. Колебание системы с одной степенью свободы

При исследовании колебаний упругих тел мы встречаемся обыкновенно со сложной задачей, с движением системы, имеющей бесконечное множество степеней свободы. Иногда задачу можно значительно упростить и получить вполне удовлетворительное для практических приложений решение путем замены сложной упругой системы системой с одной степенью свободы. Рассмотрим, например, колебания груза, подвешенного на пружине и могущего перемещаться лишь в вертикальном направлении (рис. 71). Если вес груза Q велик по сравнению с весом пружины, то массой пружины можно в первом приближении пренебречь. Можно также пренебречь деформациями груза и рассматривать его как идеально твердое тело. Таким путем мы приходим к системе с одной степенью свободы. Положение груза вполне определяется координатой х. Дальше мы увидим, что

ряд задач таким же образом может быть приведен к рассмотрению колебаний систем с одной степенью свободы. Результаты, полученные для таких систем, возможно будет использовать при решении более сложных задач, поэтому является целесообразным начать изучение колебаний с системы с одной степенью свободы.

Пусть начало координат совпадает с центром тяжести груза в положении равновесия. Если мы грузу сообщим каким-либо способом колебательное движение по оси , то в любой момент равнодействующая всех сил, приложенных к грузу, будет равна где а коэффициент, характеризующий жесткость пружины. Он представляет собой ту силу, которую нужно приложить к пружине, чтобы вызвать удлинение или укорочение, равное единице длины.

Дифференциальное уравнение движения груза напишется так:

Здесь для краткости введено обозначение

Общее решение уравнения (а) будет

Рис. 71.

Получаем простое гармоническое колебание, период которого равен

где X — удлинение пружины, вызываемое собственным весом груза Следовательно, период колебания груза такой же, как математического маятника, длина которого равна а величина постоянных должна быть найдена из начальных условий.

Если через обозначим начальное перемещение груза от положения равновесия и через его начальную скорость, то, очевидно, мы удовлетворим этим начальным условиям, переписав общий интеграл (с) в таком виде:

Таким образом, амплитуда колебаний груза вполне определяется начальными условиями, тогда как период зависит лишь от устройства системы.

Выше мы предполагали, что груз при своих колебаниях не встречает никаких сопротивлений. В действительности сопротивление среды всегда имеет место, и потому амплитуда колебаний со временем постепенно убывает, колебания затухают. Сделаем предположение, что сопротивление среды пропорционально скорости движущегося груза. В таком случае дифференциальное уравнение движения напишется так:

Здесь через обозначено сопротивление, приходящееся на единицу массы движущегося груза при скорости, равной единице. Будем считать сопротивление среды малым и положим, что Тогда, введя обозначение

напишем общий интеграл уравнения (d) в таком виде:

Первый множитель в полученном выражении беспредельно убывает со временем, и потому колебания будут постепенно затухать. Быстрота затухания определяется величиной Период колебаний будет

На основании обозначения (е) заключаем, что в случае малых сопротивлений приращение периода, обусловленное этим сопротивлением, представится малой величиной второго порядка и потому при вычислении периода колебаний можно пользоваться формулой (137). Что касается амплитуды колебаний, зависящей от величин в общем интеграле (f), то она определяется из начальных условий. Если для начального перемещения и начальной скорости оставить прежние обозначения, то интеграл (f) перепишется таким образом:

Мы пока предполагали, что колебания груза вызваны в начальный момент и после этого система была предоставлена самой себе. Поэтому решения (138) и (140) представляют собою свободные или собственные колебания системы. Рассмотрим теперь те колебания, которые совершает груз при непрерывном действии на него какой-либо периодически изменяющейся силы. Возьмем, например, простейший случай, когда раскачивающая сила изменяется по закону синуса, и пусть величина этой силы, отнесенная к единице массы груза, равна

Тогда период раскачивающей силы будет

и дифференциальное уравнение движения при наличии сопротивления среды, пропорционального скорости, запишется так:

Общий интеграл соответствующего уравнения без последнего члена даст нам рассмотренные выше затухающие колебания груза. Частное решение уравнения (h) представит собой вынужденные колебания груза. Легко проверить, что в рассматриваемом случае нужное нам частное решение представляется таким выражением:

Это выражение может быть представлено в более простом виде, если ввести такие обозначения:

откуда

В таком случае для вынужденных колебаний получаем

Мы видим, что период вынужденных колебаний такой же, как и период раскачивающей силы, амплитуда вынужденных колебаний С пропорциональна величине силы. Момент наибольшего перемещения груза от положения равновесия не совпадает с моментом наибольшего значения раскачивающей силы и величина расхождения определяется углом а, который называют разностью фаз. Если т. е. если период раскачивающей силы больше периода собственных колебаний груза, а имеет положительные значения, вынужденные колебания отстают от раскачивающей силы на величину, меньшую и это отставание будет тем больше, чем ближе к k. При вынужденные колебания отстают от силы на четверть периода и, когда сила, постепенно увеличиваясь, достигает максимального значения, груз, идя в ту же сторону, проходит через свое среднее положение. Если т. е. когда период раскачивающей силы меньше периода собственных колебаний, отставание колебаний от силы больше четверти периода и в пределе достигает половины периода. В этом случае сила достигает своего максимального значения в известном направлении, когда перемещение груза достигает своей наибольшей величины в направлении прямо противоположном. Примером подобного колебания может служить математический маятник. В момент наибольшего его отклонения сила тяжести дает наибольшую составляющую в направлении, прямо противоположном отклонению.

Амплитуда вынужденных колебаний, как видно из формулы (142), при определенных значениях в большей степени зависит от е. от периодов вынужденных и свободных колебаний системы. Принимая во внимание значения [см. формулы заключаем, что где удлинение пружины, которое мы получили бы при статическом действии наибольшего значения раскачивающей силы. В таком случае для амплитуды вынужденных колебаний получаем выражение

где

Если весьма мало по сравнению с А, т. е. если период изменения силы весьма велик по сравнению с периодом собственных колебаний, будет весьма малой величиной и, следовательно, т. е. перемещения груза при вынужденных колебаниях будут такими же, как и при статическом действии раскачивающей силы. Если мы возьмем другой крайний случай, — положим, что беспредельно возрастает, — амплитуда вынужденных колебаний будет стремиться к нулю. Особенно большие значения амплитуда вынужденных колебаний приобретает в том случае, когда приближается к k. Здесь мы будем иметь дело с явлением резонанса, и размахи вынужденных колебаний будут тем большими, чем меньше сопротивление среды, т. е. чем меньше у. На рис. 72 построенные кривые дают представление об изменении амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от По оси абсцисс отложены значения по ординатам — значения того множителя, на который приходится умножать статическое растяжение пружины чтобы получить амплитуду вынужденных колебаний.

Обратимся теперь к общему интегралу уравнения Прибавляя к найденному выше частному решению общий интеграл соответствующего уравнения без последнего члена, получаем

Значение первого члена, представляющего собой свободные колебания системы, постепенно убывает и нам практически придется считаться лишь со вторым членом — с вынужденными колебаниями.

Произвольные постоянные в общем интеграле должны быть определены из начальных условий. Эти величины отличаются от нуля в том случае, когда

Следовательно, в начальный момент под действием раскачивающей силы возникнут и собственные и вынужденные колебания, но собственные колебания имеют существенное значение лишь в начале движения. Дальше роль их благодаря затуханию постепенно убывает. Если периоды собственных и вынужденных колебаний близки к равенству, то в первое время, пока свободные колебания еще не успели затухнуть, мы будем иметь известное явление биения, которое получается всякий раз, когда складываются два гармонических колебания, близких по величине периодов. В те моменты, когда близки к совпадению наибольшие отклонения в известном направлении для обоих складываемых колебаний, мы будем иметь амплитуду результирующего колебания, примерно равную сумме амплитуд складываемых колебаний. В те же моменты, когда разность фаз складываемых колебаний близка к , в результате сложения получим колебание, амплитуда которого близка к разности амплитуд складываемых колебаний. Таким образом, с течением времени амплитуда получающегося от сложения колебания будет то возрастать, достигая значения, равного примерно сумме амплитуд складываемых колебаний, то убывать до значения, равного их разности.

Рис. 72.

Пока все наши заключения относятся к случаю действия силы, изменяющейся по закону синуса [формула (g)], но линейность основного уравнения (h) позволяет сразу наши заключения обобщить на случай действия любой силы. В самом деле, закон изменения любой силы на протяжении одного периода всегда можно представить тригонометрическим рядом, и колебания, вызываемые этой силой, получатся путем сложения колебаний, вызываемых каждым членом ряда в отдельности, т. е. таких колебаний, которые были изучены выше. При этом, конечно, если среди членов ряда, представляющего раскачивающую силу, будет такой, период которого близок к периоду собственных колебаний системы, то мы будем иметь явление резонанса. Этот член будет играть преобладающую роль, амплитуда соответствующего ему колебания может достигнуть большой величины.

Пользуясь линейностью основного уравнения мы можем общий интеграл его представить в весьма простом виде. Для простоты рассуждений обратимся сначала к собственным колебаниям системы при отсутствии сопротивлений. Решение (138) показывает, что в этом случае мы можем движение разложить на два колебания: одно — обусловлено начальным перемещением другое — начальной скоростью Чтобы теперь перейти от собственных или свободных колебаний к колебаниям, вызываемым любой раскачивающей силой, представим себе действие непрерывной силы как ряд толчков. Определим скорость, сообщаемую грузу каждым толчком, и посмотрим, как эта скорость, сообщенная грузу в какой-либо момент отразится на величине перемещения груза в момент t. Последний вопрос разрешается формулой (138).

Обозначим через величину раскачивающей силы, отнесенную к единице массы груза. В момент за промежуток времени эта сила сообщит единице массы скорость, равную На основании (138) заключаем, что найденной скорости, сообщенной в момент будет соответствовать в момент перемещение

Полное перемещение, вызываемое силой к моменту t, составится путем суммирования найденных выше элементарных перемещений. Нужно только изменять в пределах Таким образом, получаем

Если мы обратимся к более общему случаю и примем во внимание сопротивление среды, то на основании (140) путем прежних рассуясдений прийдем к такому выражению:

Заметим, что выражения (144) и (145) представляют собой перемещения, обусловленные не только вынужденными колебаниями, но также и теми собственными колебаниями, которые под действием силы возникают в начальный момент. Для получения общего решения нужно к интегралам (144) и (145) присоединить собственные колебания, обусловленные начальным перемещением и начальной скоростью [формулы (138) и (140)].

В тех случаях, когда вынуждающая колебания сила изменяется по закону синуса или косинуса, при вычислении вынужденных колебаний нет надобности обращаться к формулам (144) и (145). Проще непосредственно искать частное решение уравнения как это было сделано раньше.