Глава II. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕЙ С КРИВОЙ ОСЬЮ
§ 17. Малые деформации стержня с круговой осью в плоскости кривизны
При исследовании изгиба стержней малой кривизны (§ 14) было указано, что с достаточной для практики точностью можно считать изменение кривизны оси бруска в каком-либо поперечном сечении пропорциональным величине соответствующего изгибающего момента.
Если за положительное направление момента примем то, которое увеличивает начальную кривизну, и обозначим начальный радиус оси бруска через 
и радиус кривизны изогнутой оси бруска после деформации через 
то основное уравнение для изогнутой оси бруска при действии сил в плоскости кривизны, с которой совпадает одна из главных осей инерции поперечного сечения бруска, напишется так:
Рис. 19.
Совершенно так же, как и для прямых стержней, мы при условии малых перемещений можем заменить уравнение (88) более простым уравнением, если выразим изменение кривизны оси бруска через перемещение и, которое совершают точки оси в радиальном направлении при деформации бруска. Пусть 
искривленная ось бруска и пунктиром указана первоначальная круговая ось (рис. 19, а). Радиальные перемещения и считаем положительными, если они происходят в направлении к центру О. Двумя радиусами с углом 
выделим элемент 
кривизна которого до деформации будет 
В случае весьма малых перемещений мы при определении изменения кривизны можем сравнивать кривизну элемента 
с кривизной элемента 
выделенного из деформированной оси бруска теми же радиусами От и 
Для элемента 
кривизна может быть представлена так:
Из геометрических соображений (рис. 19, б) можем написать
В таком случае, пренебрегая малыми высшего порядка, получаем
Вставляя это выражение в уравнение (88), получаем
Совершенно такой же результат мы получили бы, если бы взяли уравнение искривленной оси А В в полярных координатах 
и 
выражение для радиуса вектора вставили в известную формулу для кривизны
Путем отбрасывания малых высшего порядка придем и в этом случае к уравнению (88).
Уравнение (88) играет такую же роль, как уравнение (2) в случае прямых стержней. Общий интеграл этого уравнения легко находится и может быть написан в таком виде:
Произвольные постоянные 
должны быть найдены из условий закрепления концов бруска. В случае статически неопределенных задач решение (90) дает возможность найти лишние неизвестные величины, являющиеся результатом лишних закреплений.
В качестве примера возьмем случай круговой арки с шарнирными закреплениями (рис. 20). На арку действует сосредоточенная сила 
приложенная в среднем сечении С.
Произведя в этом сечении разрез и заменяя действие правой половины арки на левую силами 
и 
и моментом 
найдем для какого-либо сечения 
изгибающий момент
Вставляя это выражение в общий интеграл (90), получаем
Сюда вошли две лишние неизвестные 
Для определения этих величин и произвольных постоянных и 
имеем следующие условия на концах: 
Четвертое уравнение получим, пренебрегая растяжениями от продольной силы и полагая равным нулю изменение длины оси бруска. В таком случае
Из найденных четырех уравнений определятся все нужные нам величины, и мы можем найти деформации и напряжения в любом сечении арки.
Рис. 20.
Рис. 21.
В качестве второго примера рассмотрим изгиб под действием собственного веса кругового кольца, опирающегося на горизонтальную плоскость (рис. 21). Производя сечения в точке А и заменяя действие правой половины на левую силой 
и парой 
мы находим в сечении В такое выражение для изгибающего момента:
Здесь через у обозначен вес единицы длины кольца. Вставляя выражение для 
в общий интеграл (90), получаем
Для определения лишних неизвестных и постоянных 
имеем условия
Кроме того, условие нерастяжимости оси дает нам четвертое уравнение 
Из этих уравнений находим
Следовательно,
При составлении выражений для изгибающих моментов в рассмотренных примерах мы исходили из недеформированного состояния кольца и пренебрегали теми изменениями в расположении внешних сил, которые получаются вследствие деформации. В тех случаях, когда под действием внешних сил возникают значительные продольные усилия, изменение формы бруска может оказывать существенное влияние на обстоятельства изгиба и его приходится принимать во внимание при составлении выражения для изгибающего момента. Мы разрешим эту задачу при помощи тригонометрических рядов.
