Глава III. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ

§ 14. Обобщенный закон Гука

Идеально упругому телу, с которым оперирует теория упругости, свойственно при действии внешних сил несколько изменять свою форму. Определенной системе внешних сил соответствует вполне определенное изменение формы тела. В предыдущих главах мы еще не пользовались этой зависимостью между силами и вызываемыми ими деформациями. При изучении напряженного состояния в данной точке, мы выделяли бесконечно малый элемент и к нему применяли уравнения статики абсолютно твердого тела. Это дало нам возможность установить зависимость между напряжениями по различным площадками определить напряженное состояние в данной точке при посредстве шести составляющих напряжения При рассмотрении деформаций мы исходили из допущения, что проекции перемещений и, малы и представляются непрерывными функциями координат точки х, у, z.

На основании геометрических соображений мы выяснили вопрос о деформации в данной точке и определили эту деформацию посредством шести составляющих деформации Для установления зависимости между составляющими напряжения с одной стороны, и вызываемыми ими составляющими деформации, с другой, необходимо точнее определить физические свойства идеально упругого тела. Чтобы наши дальнейшие выводы были по возможности ближе к действительности, при установлении упругих свойств идеального тела воспользуемся данными опытов, произведенных над действительными телами, обладающими в большей или меньшей степени свойством упругости. Опытов, которые давали бы возможность непосредственно установить зависимость между напряжениями и деформациями, не имеется. Мы не имеем средств для экспериментального определения составляющих напряжения в какой-либо точке деформируемого тела, однако можно с большой точностью определить те внешние силы, которые вызывают деформацию тела и деформации отдельных элементов на поверхности деформируемого тела, а также перемещения отдельных точек при деформации.

Закон о зависимости между внешними силами и вызываемыми ими изменениями формы тела, был установлен еще в 1676 году английским ученым Робертом Гуком и сформулирован им так: «Ut tensio, sic vis». Под «tensio» Гук подразумевал не только растяжение, а вообще всякого рода деформацию

упругого тела. Словом «vis» он определял внешнюю силу или систему сил (например, пару сил), вызывающих изучаемую деформацию. Гук доказывает открытый им закон чисто экспериментальным путем, он ссылается на опыты со спиральной рессорой, опыты с растяжением длинной проволоки и с изгибом деревянной балки, закрепленной одним концом, и во всех этих случаях отмечает пропорциональность между действующими силами и вызываемыми ими деформациями. Результаты дальнейших многочисленных исследований вполне подтвердили справедливость закона Гука для многих действительных тел, были установлены те пределы, за которые не должны выходить деформации, чтобы закон Гука имел место. Пределы эти весьма различны для различных тел. В то время, например, как железо и сталь следуют закону Гука в весьма широких пределах, такие материалы, как чугун, уже при сравнительно малых напряжениях отклоняются от закона Гука

На основании имеющихся многочисленных опытов для идеального упругого тела, с которым мы имеем дело в теории упругости, закон Гука принимают в обобщенном виде; допускают, что в каждой точке деформированного тела составляющие напряжения являются линейными функциями составляющих деформации В обобщенном виде закон Гука не может быть проверен непосредственным опытом; в его справедливости убеждаемся путем проверки тех заключений, которые из обобщенного закона Гука могут быть получены аналитически.

Одно из самых существенных соображений, говорящих в пользу закона Гука и распространяющих этот закон на те случаи, когда части деформируемого тела находятся в движении, было высказано Джорджем Габриелем Стоксом. Он показал, что свойство упругих тел совершать изохронные колебания есть следствие того, что напряжения, возникающие в теле при малых деформациях, являются линейными функциями этих деформаций.

На основании этой линейной зависимости Дж. Стоке установил еще одно положение, нашедшее широкое применение при решении задач сопротивления материалов и теории упругости. Если между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость, то при возрастании напряжений в несколько раз деформации возрастут во столько же раз. Если деформация является результатом действия на упругое тело нескольких систем внешних сил, то ее можно получить, суммируя деформации, вызываемые отдельными системами сил. При этом, конечно, предполагается, что перемещения точек тела настолько малы, что деформации, вызываемые одной системой сил, не вносят изменений в действие другой системы и что при изучении напряженного состояния можно произвольно брать или то расположение точек тела, которое соответствует его естественному состоянию, или то, которое наступает после деформации. Это положение в дальнейшем будем называть принципом сложения действия сил.

Кроме экспериментального обоснования закона Гука делались неоднократные попытки математического доказательства справедливости этого закона.

Основатели теории упругости Луи Навье, Огюстен Коши, Симеон Пуассон, исходившие из представления молекулярного строения упругого тела, получали закон Гука в результате некоторых предположений относительно сил взаимодействия, возникающих между молекулами при деформации.

В настоящее время этот способ доказательства уже не используется и закон Гука принимается обыкновенно как обобщение многочисленных опытов, произведенных над упругими телами.

Линейная зависимость между шестью составляющими напряжения в данной точке и шестью соответствующими им составляющими деформации в самом общем случае может быть представлена так:

В эти выражения для напряжений входят 36 постоянных величин характеризующих упругие свойства тела. В дальнейшем будем их называть упругими постоянными. Эти величины, очевидно, имеют то же измерение, что и напряжения и, так как при малых деформациях составляющие малые отвлеченные числа, то некоторые из коэффициентов будут, наверное, велики по сравнению с составляющими напряжений.

Далее, воспользовавшись свойством упругого тела накапливать энергию в обратимой форме и составив выражения для внутренней энергии деформированного тела, упростим выражения (25) и приведем число упругих постоянных к 21. Таким образом, для определения упругих свойств однородного тела в общем случае необходимо, чтобы была задана 21 постоянная величина. Для такого тела два одинаковых вырезанных из него элемента будут обладать одинаковыми упругими свойствами лишь в том случае, если эти элементы одинаково ориентированы. Упругие свойства в какой-либо точкетела изменяются в зависимости от направления. В действительных телах имеется обыкновенно различного рада симметрия в строении и в упругих свойствах, что дает возможность получать дальнейшие сокращения числа постоянных, характеризующих упругие свойства тела. В дальнейшем мы будем заниматься почти исключительно такими телами, у которых упругие свойства по всем направлениям одинаковы. Такие тела называются изотропными. Для определения их упругих свойств необходимо иметь лишь две упругие постоянные.