§ 9. Статически неопределимые случаи изгиба сжатых балок

Пользуясь результатами предыдущего параграфа, мы легко можем получить все нужные формулы для исследования изгиба сжатых балок с заделанными концами и неразрезных балок. В качестве примера возьмем балку с левым опертым и правым заделанным концом (рис. 12). При изгибе этой балки равномерной нагрузкой у правого конца появляется реактивный опорный момент величину которого примем за лишнюю неизвестную. Для определения воспользуемся обычным приемом. Сначала отбросим лишнее закрепление, препятствующее поворачиванию правого конца, и для полученной таким образом равномерно нагруженной балки с опертыми концами найдем углы поворота концевых опорных сечений при помощи формулы (36). А потом подберем такое значение для момента чтобы вызываемый им угол поворота конца балки, определяемый на основании формул (29), был равен по величине и противоположен по знаку углу, найденному выше из формулы (36).

Рис. 12.

Таким образом, для определения получаем уравнение

откуда

Определив лишнюю неизвестную, мы привели задачу к расчету балки с опертыми концами, изгибаемой равномерной нагрузкой и парой сил приложенной к правому концу.

Если оба конца равномерно нагруженной и сжатой балки заделаны и не могут совершенно поворачиваться, то для определения опорных пар воспользуемся формулами (31) и (36). Соответствующее уравнение напишется так:

откуда

Если оба конца равномерно нагруженной и сжатой балки упруго заделаны и коэффициенты а, характеризующие жесткость заделки, для обоих концов одинаковы и таковы, что угол поворота левого конца по часовой стрелке равен где опорный момент, то величина найдется из уравнения

Мы будем через обозначать величину опорных моментов при абсолютно заделанных концах [формула (39)]. Тогда в рассматриваемом случае значение

опорных моментов можно представить так:

Множитель при в полученной формуле будем называть коэффициентом опорной пары и обозначать через х, тогда

Уравнение изогнутой оси для рассматриваемого случая, на основании формул (30) и (34), представится так:

или, вставляя вместо его значение (39), получаем

Перейдем теперь к исследованию изгиба неразрезных сжатых балок. Предположим опоры абсолютно жесткими и расположенными на одном уровне. За лишние неизвестные примем опорные моменты. Величины этих моментов будем разыскивать таким же способом, как и при отсутствии продольной силы. Поперечными сечениями, проведенными над опорами, разрезаем нашу многопролетную балку на ряд простых балок.

Рис. 13.

Моменты, действующие по концам этих балок, найдутся из того условия, что над каждой из опор два соседние пролета изогнутой оси неразрезной балки имеют общую касательную. Таким путем мы получим систему уравнений, каждое из которых будет заключать величины трех последовательных опорных моментов. Число уравнений будет соответствовать числу промежуточных опор, и если концы многопролетной балки могут свободно поворачиваться, то из полученной системы уравнений найдутся все лишние неизвестные. В случае закрепленных концов нужно будет к составленной системе уравнений присоединить еще два уравнения, которые напишутся на основании условий закрепления концов. В качестве примера рассмотрим изгиб многопролетной балки, сжатой силами и изгибаемой парами сил, приложенными по концам. Если других нагрузок нет, то мы можем все нужные нам уравнения составить при помощи формул (29). Введя для краткости обозначения

мы напишем для углов поворота в случае однопролетной балки (рис. 13) такие выражения:

Применим эти формулы к нашей неразрезной балке. Возьмем ее пролеты и обозначим через соответствующие опорные

моменты. На опоре, являющейся общей для двух выделенных пролетов условие наличия общей касательной напишется на основании (42) так:

Если сечение по длине балки постоянно, то получим

Полученные уравнения остаются в силе и в том случае, если продольное сжатие в различных пролетах неразрезной балки будет различным. Если бы на отдельных пролетах балки лежала равномерно распределенная нагрузка, то в правой части уравнения (43) вместо нуля получили бы выражение, зависящее от углов поворота, вызываемых равномерной нагрузкой. Это выражение легко может быть составлено при помощи формулы (36).

Если опоры неразрезной балки лежат на разных высотах и через обозначен угол между линией, соединяющей опорные точки -го пролета, и осью х, отсчитываемый по часовой стрелке, то вместо уравнения (43) получим такое 1:

Если и беспредельно убывает до нуля, функции стремятся к единице и уравнения (43) и в пределе обращаются в известные уравнения трех моментов для балок, подвергающихся действию только изгиба.

В случае упругих опор иногда выгоднее за лишние неизвестные принять не опорные моменты, а опорные реакции. В таком случае мы отбрасываем промежуточные опоры и их действия на балку заменяем реактивными силами (Предполагаем промежуточных опор. Индексы внизу указывают порядок опорных реакций в направлении от правого конца балки к левому.) Величины реактивных сил находим из тех условий, что осадка каждой из опор должна быть пропорциональна соответствующему давлению. Пусть коэффициент жесткости опоры, тогда будет величина осадки этой опоры. Соответствующее уравнение получим, приравняв найденную осадку к прогибу балки в данном месте под действием лежащей на балке нагрузки и опорных реакций Возьмем случай равномерной нагрузки, тогда на основании (33) и (34) для сечения соответствующего опоре, найдем

Таких уравнений мы можем написать столько, сколько имеется промежуточных опор, следовательно, число уравнений будет соответствовать числу лишних неизвестных. Величина I в этих уравнениях обозначает длину балки, величины расстояния последовательных опор от правого конца балки.