§ 13. Приближенный способ определения продольной силы

Приближенные формулы, полученные нами в предыдущем параграфе, можно применить при определении продольной силы, которая появляется в том случае, когда свободному сближению концов балки при изгибе препятствуют

какие-либо распорки (см. рис. 15). Если концы балки оперты, то на основании предыдущих результатов мы можем положить

В таком случае уравнение (59), служащее для определения продольной силы, перепишется так:

где квадрат радиуса инерции поперечного сечения. Вычислив предварительно величину прогиба балки от одной поперечной нагрузки, мы без всякого затруднения подберем при помощи (71) соответствующее значение и таким образом определим продольную силу, появляющуюся при изгибе. Заметим, что уравнение (71) особенно просто решается при помощи логарифмической линейки. Обозначая величину через х, приводим его к виду Для численного примера, рассмотренного в § 11, получим откуда

Если нагрузку увеличить вдвое, то правая часть уравнения (71) возрастет вчетверо, и мы получим При уменьшении нагрузки вдвое найдем

Числа эти получены при помощи линейки и в них могут быть погрешности в одну-две единицы последнего знака. Такого же порядка будут разности между результатами, получаемыми из приближенного уравнения (71) и из точного уравнения (59), и, если мы примем во внимание, что в эти уравнения входит величина известная лишь приблизительно, то можем заключить, что уравнение (71) дает величины продольной силы с точностью, вполне достаточной для практических приложений.

Определив таким образом продольную силу, мы можем выполнить дальнейший расчет балки или при помощи табл. 2, или же при помощи приближенных формул предыдущего параграфа, В тех случаях, когда мы имеем дело с весьма гибкими стержнями, для которых величина представляет собой большое число, можно сделать одно заключение относительно величины максимальных напряжений. Напряжения эти имеют место посередине пролета и составляются из двух частей: из напряжений от растягивающей силы и из напряжений от изгиба.

Пользуясь для наибольшего момента приближенной формулой предыдущего параграфа, представляем величину максимальных напряжений так:

В случае балки прямоугольного поперечного сечения, ширина которого равна единице и высота равна мы можем переписать выражение для наибольших напряжений в таком виде:

Первый член, представляющий собой напряжение от продольной силы, возрастает вместе с Напряжения изгиба, представленные вторым членом нашего выражения, убывают с возрастанием Найдем значение которому соответствует наибольшее значение напряжения. Составляя производную от по и приравнивая ее нулю, получаем

Вставляя это в выражение для наибольших напряжений, находим

Предположим, что продольная сила, возникающая при изгибе, такова, что получает значение, определяемое формулой Тогда уравнение (71) для балки прямоугольного поперечного сечения перепишется в виде

и мы найдем такое приближенное решение:

На практике К обыкновенно не выходит за пределы 0,2-0,8. Следовательно, величина и, определяемая на основании формулы (с), будет изменяться в пределах 9,8-5,3, т. е. будет близка к тем значениям, которые встречаются на практике (см. изгиб пластинки по цилиндрической поверх-" ности).

Рис. 17,

Так как функции обыкновенно медленно изменяются у своего максимума, то мы можем считать, что даже значительные отклонения величины от значения (с) мало отклонят величину от ее максимального значения, определяемого формулой

На основании этого мы можем заключить, что в случае гибких стержней изменение высоты сечения будет мало влиять на величину наибольших напряжений. Каждое из слагаемых в общей формуле для будет изменяться, но общая их сумма остается при этом почти постоянной. Такое же заключение можно сделать относительно наибольших напряжений посередине пролета в случае балки с заделанными концами, так как приближенная формула для изгибающего момента при больших значениях остается прежней.

Применим теперь приближенный метод к решению еще одной задачи, имеющей практическое значение. Предположим, что балка с распоркой подвергается действию не только поперечной равномерно распределенной нагрузки, но также и продольной силы? (рис. 17).

При таком действии сил, очевидно, усилие 5, растягивающее балку, не будет равняться сжимающей силе в распорке. Разность между этими усилиями будет равняться величине растягивающей внешней силы Уравнение (59), из которого может быть определена сила напишется так:

Если мы вместо у подставим его приближенное выражение

то получим

Полагая приводим уравнение (72) к такому виду:

Уравнение это весьма просто решается при посредстве линейки, и мы легко можем составить целую таблицу значений х, соответствующих различным величинам силы Полагая в уравнении равным нулю, получаем

Это то значение силы при котором продольное усилие в балке обращается в нуль.

Рассмотрим теперь балку с заделанными концами. Положив [см. формулу (70)]

представим для этого случая уравнение (59) в таком виде;

Уравнение это также легко решается при помощи линейки. Полагая получаем для нашего прежнего численного примера откуда

При нагрузке вдвое большей интенсивности получим откуда

Влияние дополнительных продольных сил может быть оценено таким же способом, как и в случае опертых концов.