§ 38. Чистый изгиб части кругового кольца

Особенно просто решается плоская задача в полярных координатах в том случае, когда распределение напряжений не зависит от угла Функция напряжений будет при этом условии зависеть только от и основное

дифференциальное уравнение (62) перепишется так:

Подстановкой полученное уравнение приводится к уравнению с постоянными коэффициентами и потому функция может быть найдена без всяких затруднений. Она будет заключать четыре произвольных постоянных и представится в таком виде:

Соответствующие напряжения определятся на основании формул (63):

Рис. 29.

Пользуясь этим решением, легко получить напряжения в случае чистого изгиба части кругового кольца парами сил, приложенными по концам (рис. 29). Поперечное сечение кольца предполагаем прямоугольным. Если размер с этого прямоугольника в направлении, перпендикулярном к плоскости кольца, мал, то мы будем иметь дело со случаем обобщенного плоского напряженного состояния. При больших значениях размера с кольцо обращается в цилиндрическую трубку, и мы будем иметь случай плоской деформации. Распределение напряжений как в том, так и в другом случае будет одно и то же. Чтобы получить распределение напряжений при изгибе парами сил, приложенными по концам, подберем произвольные постоянные в общем решении (а) таким образом, чтобы нормальные напряжения по наружному и внутреннему круговым очертаниям пластинки обращались в нуль. Обозначая через внутренний и наружный радиусы кольца, получаем для определения произвольных постоянных уравнения

Что касается напряжений , то в случае чистого изгиба они должны в каждом поперечном сечении кольца приводиться к паре сил с моментом Следовательно 2,

Вставив вместо его выражение и выполняя интегрирование, получим такие уравнения:

Первое из этих уравнений является следствием уравнений (b), а второе вместе с уравнениями (b) дает возможность найти произвольные постоянные Введя для сокращения обозначение представим эти постоянные в таком виде

Рис. 30.

Выражения для напряжений перепишутся так:

Таким образом, исходя из предположения, что функция напряжений не зависит от 0, мы смогли найти распределение напряжений, удовлетворяющее всем условиям задачи: по наружному и внутреннему круговым очертаниям пластинки не действуют никакие усилия. По концевым поперечным сечениям имеются лишь нормальные усилия, приводящиеся к парам сил Распределение этих усилий по сечению вполне определяется выражением, полученным выше для напряжений 00. Если в действительности распределение нормальных усилий по концевым поперечным сечениям отличается от того, что дает решение (67), то найденное нами распределение напряжений будет отличаться от действительного, но на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что это различие будет значительным лишь у концов. В точках, удаленных от концов, распределение напряжений мало изменяется при изменении закона распределения изгибающих усилий.

Пользуясь общими формулами (64) и (65), мы без затруднений можем разыскать деформации и перемещения точек кольца в случае чистого изгиба. Интересно отметить, что при этом плоские поперечные сечения остаются и после деформации плоскими. Для доказательства этого положения рассмотрим деформацию элемента выделенного из изгибаемой части кольца двумя радиусами и и двумя концентрическими дугами и (рис. 30). Если при изгибе поперечные сечения бруска остаются плоскими, то изменение угла между гранями и выделенного элемента не должно зависеть от Пусть угол между гранями и после деформации элемента, тогда

из простых геометрических соображений следует, что

Относительное изменение угла

Вставляя вместо их выражения через напряжения, легко докажем, что изменение угла от не зависит и, следовательно, поперечные сечения в нашем случае изгиба остаются плоскими.

Интересно сравнить полученное выше решение (67) с теми результатами, которые дает элементарная теория изгиба кривых брусьев. При элементарном исследовании распределения напряжений в изогнутом кривом бруске исходят или из гипотезы линейного закона распределения нормальных напряжений по плоскости поперечного сечения бруска, или из гипотезы плоских сечений. В последнем случае мы приходим к распределению нормальных напряжений по гиперболическому закону. Как в первом, так и во втором случае ограничиваются рассмотрением напряжений и пренебрегают напряжениями Чем меньше поперечные размеры бруска по сравнению с его радиусом кривизны, тем меньше разность между результатами, получаемыми на основании двух различных гипотез и тем ближе эти результаты к точному решению (67).

Когда ширина кольца значительна, гипотеза линейного распределения нормальных напряжений приводит к большим погрешностям. Разница между результатами, получаемыми на основании гипотезы плоских сечений, и решением (67) вообще невелика. Для сравнения прйведем следующие два численных примера.

Пример I. Предположим, . Тогда гипотеза линейного распределения напряжений дает для наибольшего растягивающего и сжимающего напряжений значения , где а — постоянная величина, зависящая от величины изгибающего момента и от поперечных размеров бруска.

Таблица 1 (см. скан)

Гипотеза плоских сечений дает для тех же напряжений значения . На основании решения (67) получаем такие результаты: .

Результаты, полученные на основании гипотезы плоских сечений, весьма близки к точному решению. Погрешность обусловлена тем, что в элементарном выводе мы пренебрегаем нормальными напряжениями

Пример II. Положим . Ширина кольца вдвое больше внутреннего радиуса. Значения наибольших растягивающих и сжимающих напряжений, вычисленные на основании упомянутых выше гипотез и на основании решения (67), приведены в табл. II.

Таким образом, даже в случае брусьев большой кривизны гипотеза плоских сечений дает вполне удовлетворительные результаты. Заметим, что с возрастанием ширины бруска все большее значение будет играть закон распределения внешних сил по концевым поперечным сечениям, так как поперечные размеры перестают быть малыми по сравнению с длиною бруска и принцип Сен-Венана уже более несправедлив.

Что касается напряжений которыми при элементарном рассмотрении изгиба кривых брусьев обыкновенно пренебрегают, то их величины обращаются в нуль при Наибольшего значения эти напряжения достигают примерно по середине ширины кольца, т. е. при Эти напряжения вообще невелики. Например, для случая а при а величина их равна 4,31 а, что составляет примерно 6% наибольшего значения напряжений .