§ 16. Случай нескольких перекрестных балок

Предположим, что система балок главного направления, параллельных оси у (рис. 18), поддерживается несколькими перекрестными балками. Исследуем изгиб этих балок под действием сплошной нагрузки, распределенной по площади Искривленная поверхность, по которой изогнется наша система балок, может быть представлена так:

Рис. 18.

Чтобы из этого выражения получить уравнение изогнутой оси балки главного направления, нужно только вместо х поставить соответствующее значение . Точно так же для получения уравнения изогнутой оси перекрестной балки нужно вместо у поставить соответствующее значение у

Если обозначает число балок главного направления, число перекрестных балок, жесткость балки главного направления и жесткость перекрестной балки, то потенциальная энергия изгиба нашей системы балок представится таким выражением:

Работа сплошной нагрузки при изгибе балок будет равна

Коэффициенты определятся из условия

Рассмотрим подробнее случай, когда балки главного направления равно удалены и имеют одинаковое поперечное сечение. Те же предположения сделаем относительно перекрестных балок и допустим, что система балок изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности Из условий симметрии можем заключить, что в общее выражение (а) для прогиба войдут лишь члены с нечетными значками и уравнения для определения коэффициентов получаемые из общего выражения (b), будут иметь такой вид:

Уравнения эти сильно упрощаются, если принять во внимание такие равенства если и числа не делятся на

если делится на

если делится на

если не делится на

если делится на

Практически приходится ограничиваться лишь несколькими первыми членами в общем выражении (а) для прогиба, и потому при достаточно большом числе балок каждое из уравнений (85) будет заключать лишь один неизвестный коэффициент. Коэффициенты легко вычисляются по такой формуле

Имея выражение для коэффициентов, легко найти прогиб любой перекрестной балки. Предположим, например, что у нас число перекрестных балок нечетное и напишем уравнение изогнутой оси для средней балки, которой соответствует Вставляя это значение у в выражение (а), получаем

Или, пользуясь выражением (86) для коэффициентов получаем

Наибольшую роль играет первый член этого выражения и обыкновенно в качестве первого приближения им можно ограничиться. Тогда на основании (80) можно сказать, что прогиб рассматриваемой перекрестной балки такой же, как и балки с опертыми концами, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой равномерно распределенной нагрузкой интенсивности жесткость основания характеризуется величинами

Для вычисления прогибов в таком случае проще всего воспользоваться формулой (15). Тогда для прогиба посередине получим выражение

Здесь через обозначена величина представляющая собой нагрузку, приходящуюся на одну балку главного направления. Множитель, стоящий перед скобками в полученном выражении для прогиба перекрестной балки, с достаточной точностью может быть принят равным прогибу балки главного направления при отсутствии перекрестных балок. Множителем оценивается влияние перекрестных балок. На основании табл. 1 заключаем, что при перекрестные балки будут вредны. Они не только не поддерживают средней балки главного направления, но, наоборот, увеличивают ее прогиб. Когда прогибы перекрестных балок определены описанным здесь способом, легко может быть рассчитана средняя балка главного направления. Для этого проще всего воспользоваться формулами для неразрезной балки с опорами, расположенными на различных высотах.

Мы до сих пор предполагали, что все перекрестные балки имеют одинаковую жесткость, такое же допущение мы делали и относительно балок главного направления, но тот же прием может быть с выгодой применен и в тех случаях, когда одной или нескольким балкам придано иное сечение. Ход решения задачи поясним на таком примере. Предположим, что плоское покрытие, несущее равномерную нагрузку, поддерживается одиннадцатью равноудаленными балками главного направления и пятью перекрестными балками. Концы всех балок предполагаются свободно поворачивающимися. Поперечные сечения всех балок главного направления одинаковы. Что касается перекрестных балок, то средняя из них имеет вдвое большую жесткость, чем другие. Для потенциальной энергии изгиба нашей системы балок мы напишем такое же выражение, как и в случае перекрестных балок постоянной жесткости и потом к нему присоединим выражение представляющее собой ту прибавку к потенциальной энергии, которая соответствует удвоению жесткости средней перекрестной балки.

Уравнения для определения коэффициентов а получают при этом такой вид:

Принимая во внимание значение сумм

при различных и ограничиваясь лишь первыми членами в общем выражении мы находим, что система уравнений для определения коэффициентов распадается на группы, причем в каждую группу входят лишь коэффициенты с одинаковыми значками Решение этих уравнений крайне просто, так как значения величин быстро убывают с увеличением Если в нашем примере мы возьмем девять членов в общем выражении (а) и введем для сокращения обозначения

то первая группа уравнений напишется так:

Произведем вычисления для того случая, когда Решение уравнений дает нам

Подобным же образом из второй и третьей групп уравнений найдем

Имея значения коэффициентов легко написать выражение для изогнутой оси каждой перекрестной балки. Так, например, для средней перекрестной балки получим

Вставляя сюда значения коэффициентов и полагая получаем

Подобным же образом для следующих двух перекрестных балок, полагая получаем

Величину изгибающего момента для каждой перекрестной балки найдем из формулы Вставляя вместо и; соответствующие выражения для прогибов, находим для средин перекрестных балок такие значения моментов:

Теперь остается рассчитать балки главного направления. Крайние из этих балок можно рассматривать как неразрезные балки на семи абсолютно жестких опорах. Опорные моменты для них будут иметь такие значения:

Что касается средней балки главного направления, то для нее придется к вычисленным выше опорным моментам присоединить моменты, обусловленные осадкой опор. Обозначив их соответственно через получим, на основании найденных выше прогибов, такую систему уравнений:

откуда находим Присоединяя сюда найденные выше опорные моменты от нагрузки, получаем окончательно для изгибающих моментов в узлах средней балки главного направления значения

Заметим, что при взятом нами числе знаков в выражениях для прогибов перекрестных балок третий знак в числах, полученных для моментов, является сомнительным. Конечно, можно было бы получить и более точное выражение для моментов, но такой расчет не имел бы практического значения, так как все решение задачи является по существу лишь приближенным. Мы, например, совершенно не принимали во внимание закона распределения давлений, получаемых балками главного направления от пластины плоского пере крытия, и приняли эти давления равномерно распределенными по плоскости покрытия. На самом деле этого нет, и получаемые вследствие этого погрешности будут в рассмотренном численном примере, вероятно, не меньше тех погрешностей, которые являются следствием неточного определения прогибов перекрестных балок. Выясненный на численном примере способ расчета перекрестных балок легко может быть распространен на тот случай, когда нагрузка не равномерная, а, например, изменяется вдоль оси у по линейному закону. Если по концам перекрестных балок приложены моменты, то можно пользоваться тем же приемом расчета, нужно только к работе нагрузки присоединить работу опорных пар.