§ 27. Задача Ф. С. Ясинского

Результатами предыдущего параграфа иногда пользуются для приближенной оценки устойчивости сжатых поясов открытых мостов. Проф. Ф. С. Ясинский поставил себе задачей более подробное исследование этого же вопроса. Он рассматривает сжатый пояс равномерно нагруженной фермы с параллельными поясами (рис. 57). В таком случае можно считать, что усилия в раскосах возрастают по направлению от середины пролета к опорам по линейному закону, и положить, что верхний пояс сжимается непрерывно распределенными усилиями, интенсивность которых изменяется по закону, представленному на рис. 57, б заштрихованной площадью. Через обозначена вся нагрузка, приходящаяся на ферму; высота фермы. Предположим, что опорные стойки устроены так, что верхние их точки совершенно не могут перемещаться в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка. Что же касается промежуточных стоек, то они сравнительно гибкие, и мы для простоты допустим, что жесткость их при изгибе в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, одинакова. В таком случае верхний пояс можно рассматривать как стержень с опертыми концами, сжатый непрерывно распределенными усилиями, интенсивность которых представлена на рис. 57, б. В этом виде вопрос об устойчивости сжатых поясов открытых мостов впервые был поставлен и разрешен Ф. С. Ясинским. Заменив действие отдельных стоек действием непрерывной упругой среды, жесткость которой характеризуется коэффициентом к, Ясинский применил первый метод исследования устойчивости (рассмотрение условия равновесия отклоненной формы, весьма близкой к первоначальной форме равновесия), он допустил возможным искривление верхнего пояса в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка (рис. 57, а), и для этой искривленной формы составил дифференциальное уравнение равновесия.

Рис. 57.

Таким путем он пришел к дифференциальному уравнению четвертого порядка с переменными коэффициентами и решил это уравнение в предположении, что стержень имеет постоянное сечение, при помощи бесконечных рядов. Мы воспользуемся для решения того же вопроса вторым методом, обратимся к рассмотрению энергии системы и покажем на этой задаче, как, пользуясь этим методом, можно получать приближенные решения и увеличивать точность этих решений путем увеличения числа произвольных параметров, которыми определяется искривленная форма равновесия сжатого стержня.

Представим, как это мы всегда делали в случае опертых концов, искривленную форму оси стержня тригонометрическим рядом

Энергия деформации изогнутого стержня и упругой среды выразится, как и в предыдущей задаче, суммой

Что касается работы сжимающих сил, то для нее получим здесь более сложное выражение, которое можно составить на основании следующих соображений. Пусть представляет искривленную ось стержня (рис. 58) и заштрихованные площади интенсивность распределенных сжимающих усилий, имеющих в каждой точке направление к середине стержня. Аналитически интенсивность усилий может быть представлена формулой

Наибольшая сжимающая сила получается посередине стержня, где она равна площади одного из заштрихованных треугольников, т. е.

Рис. 58.

Для подсчета работы сжимающих усилий при изгибе стержня выделим элемент оси стержня двумя бесконечно близкими сечениями и тгпх. При изгибе элемент этот наклонится к оси на угол, равный у, благодаря чему вся правая часть стержня переместится в направлении к неподвижной опоре на величину и совокупность приложенных к правой части усилий произведет работу

Выяснив таким образом работу, соответствующую повороту одного элемента оси стержня, легко получим нужное нам полное выражение для работы в виде интеграла

Подставляя сюда вместо у его общее выражение (а) и принимая во внимание значения интегралов

получаем нужное нам выражение для работы сжимающих сил в таком виде:

Приравнивая это выражение для работы к зависимости (b) для энергии деформации, получаем для сжимающей силы посередине пролета стержня выражение

Теперь остается подобрать коэффициенты так, чтобы формула (119) давала для наименьшее значение. Составляя производные от (119) по каждому из коэффициентов и приравнивая их нулю, получаем систему уравнений вида

где для сокращения письма мы ввели обозначения

Легко видеть, что система уравнений (d) разбивается на две группы. Одна из них заключает коэффициенты с нечетными индексами, а другая — с четными. Напишем по несколько первых уравнений для каждой из этих групп. Для первой группы будем иметь

Для второй группы получаем

Искривленная форма равновесия становится возможной, если одна из написанных групп уравнений может дать для коэффициентов решения, отличные от нуля, т. е. если определитель одной из этих систем уравнений обращается в нуль. Равенство нулю определителя одной из этих систем и даст нам уравнение для разыскания величины которой определяется критическое значение сжимающей силы

Для технических расчетов удобно иметь готовую таблицу коэффициентов длины (3, вычисленных для различных значений величины

При составлении этой таблицы начнем с малых значений величины а, когда искривленная форма имеет одну полуволну и, следовательно, симметрична относительно середины пролета.

Критическая сила определяется в таком случае системой уравнений Если, например, положить т. е. взять стержень, который при выпучивании не встречает сопротивления упругой среды, то для получения первого приближения можно положить все коэффициенты в выражении (а), кроме первого, равными нулю. Тогда первое из уравнений (f) дает нам

Следовательно,

Для получения второго приближения возьмем первые два уравнения системы и положим равными нулю все коэффициенты, кроме Равенство нулю определителя этих уравнений приводит нас к такому уравнению

откуда

Разность между первым и вторым приближениями всего лишь 2%. Для вычисления третьего приближения нужно было бы взять три уравнения системы Вычисление дальнейших приближений не представляет в данном случае практического интереса, так как уже второе приближение обеспечивает три верных знака. Произведя такие же вычисления для получим для коэффициента длины значения, приводимые в табл. 10. Начиная с приходится при определении обращаться к системе уравнений (g), так как им будет соответствовать наименьшее значение сжимающей силы. Соответствующая форма равновесия будет иметь две полуволны. При дальнейшем увеличении жесткости среды мы будем получать формы с тремя, четырьмя и т. д. полуволнами и для определения соответствующих критических нагрузок

нужно будет обращаться или к системе (f) для нечетного числа полуволн, или к системе (g), если число полуволн четное.

Пользуясь тем же методом, мы можем решить вопрос об устойчивости сжатого пояса и в том случае, когда опорные стойки моста обладают такой же жесткостью, как промежуточные, и задача сводится к исследованию устойчивости стержня со свободными концами в упругой среде.

Если принять такой же закон для распределения сжимающих сил, как и в предыдущем случае, то получим для коэффициента длины значения, приведенные в табл. 11.

При вычислении этих значений мы ограничились везде вторым приближением.

Таблица 10 (см. скан)

Таблица 11 (см. скан)

Заметим, что приводимое здесь приближенное решение вопроса об устойчивости сжатого пояса будет тем ближе к действительности, чем гибче стойки, чем больше стоек приходится на одну полуволну искривленной формы выпучившегося пояса. При больших значениях а и при редком расположении стоек на полученные выше решения приходится смотреть лишь как на первое грубое приближение. Для более подробного решения вопроса нужно при составлении энергии системы рассмотреть изгиб каждой стойки и работу каждой силы, передающейся от раскосов сжатому поясу. Общий ход решения задачи остается прежним. При решении той же задачи можно, конечно, воспользоваться также приемами, примененными нами при исследовании устойчивости многопролетных стержней на упругих опорах (§ 23).

Этим мы закончим исследование вопросов устойчивости сжатых стержней. Влияние на устойчивость стержней касательных напряжений и исследование устойчивости клепаных составных стержней с достаточной полнотой рассмотрено в нашем курсе сопротивления материалов и здесь мы на этих вопросах останавливаться не будем, а перейдем к исследованию устойчивости плоской формы изгиба балок.