Глава IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 19. Определение напряжений
При решении различных технических задач вопрос обыкновенно сводится к определению прочных размеров рассчитываемых конструкций. При этом приложенные к телу силы известны и по этим заданным внешним силам приходится определять напряжения, возникающие внутри тела.
Составляющие напряжения 
в каждой точке тела должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия
Кроме того, на поверхности эти составляющие должны уравновешивать приложенные к телу внешние силы, т. е. должны быть удовлетворены три уравнения вида
Ранее было отмечено, что уравнений (а) и (b) недостаточно для определения напряжений. Необходимо принять во внимание, что вызываемые напряжениями деформации должны удовлетворять шести дифференциальным зависимостям! трем уравнениям вида
и трем уравнениям вида
Присоединяя эти дифференциальные зависимости к уравнениям (а) и (b), получаем достаточно условий для определения напряжений.
При решении некоторых задач более удобно дифференциальные зависимости, связывающие составляющие деформации, заменить соответствующими зависимостями между составляющими напряжения. Необходимые преобразования
могут быть выполнены при помощи установленной выше связи (36) между напряжениями и деформациями.
Вводя обозначение 
из (36), получаем 
Кроме того, 
Вставляя это значение в уравнение (с), получаем
Правую часть этого уравнения преобразуем при помощи получаемых из уравнений равновесия (а) равенств
Дифференцируя первое из этих равенств по z, второе по у и складывая их, находим
Подставляя этот результат в равенство (е) и пользуясь для сокращения символом 
получаем
Подобные выражения получим и для двух других уравнений вида (с). Сложив эти три выражения, найдем
Определив отсюда 
и подставив его в (f), получим
Таким же образом преобразуются и два других уравнения вида (с). Уравнения вида (d) после подобных преобразований могут быть представлены в следующем виде 
При отсутствии объемных сил или при постоянных силах дифференциальные зависимости (38) и (39) принимают вид
Присоединив эти зависимости к уравнениям (а) и условиям на поверхности (b), будем иметь достаточное число уравнений для определения напряжений
