§ 4. Изгиб балки с опертыми концами, лежащей на сплошном упругом основании
Предположим, что балка 
с опертыми концами лежит на сплошном упругом основании и изгибается равномерно распределенной нагрузкой интенсивности 
(рис. 6). Общий интеграл (8) дифференциального уравнения изогнутой оси балки представим в такой форме:
Рис. 6.
Из условий симметрии заключаем, что в нашем случае у должен представляться четной функцией х. Следовательно, в общем интеграле нужно положить 
Произвольные постоянные 
подберем так, чтобы на опорах прогибы и изгибающие моменты обращались в нуль, т. е. чтобы были выполнены такие условия: 
Введя для краткости записи обозначение 
и вставив вместо у его значение, перепишем условия на концах в таком виде;
откуда находим
Вставляя эти значения произвольных постоянных в выражение (13) и принимая во внимание, что
получаем уравнение изогнутой оси балки в таком виде:
Полагая в этом выражении 
находим для прогиба посередине такое значение:
Вводя обозначение 
получаем
При малых значениях и можно положить 
В этом случае формула (15) дает известное выражение для прогиба балки с опертыми концами, нагруженной равномерной нагрузкой. Значения 
при различных и приведены в табл. 1.
Таблица 1 (см. скан)
Дифференцируя выражение (14) по 
и полагая потом 
находим угол поворота конца балки при изгибе:
где
Ряд значений функции 
приведен в табл. 1.
Чтобы определить изгибающий момент 
составляем выражение для 
Тогда
Полагая в этом выражении 
найдем изгибающий момент для середины балки:
где
Рассмотрим теперь изгиб нашей балки парой сил 
приложенной к левому концу (рис. 7). В общем интеграле (13) в этом случае будет отсутствовать первый член, и уравнение изогнутой оси представится так:
Рис. 7.
Для определения произвольных постоянных 
будем иметь такие условия:
Из этих условий находим
Полагая в уравнении (а) изогнутой оси 
находим прогиб посередине
Для дальнейших приложений интересно найти углы поворота концов балки под действием момента 
Составляя производную у и полагая в ней 
, получаем
Здесь для сокращения записи введены обозначения
Значения функций 
приведены в табл. 1. При беспредельном убывании и значения этих функций стремятся к единице, и формулы (19) дают в этом случае известные значения для углов поворота концов балки, свободно лежащей на двух опорах и изгибаемой парой сил, приложенных на конце.
Составляя производную 
мы легко вычисляем величину изгибающего момента. Для средины пролета будем иметь
