§ 36. Колебания груза, подвешенного на упругом стержне

Если масса стержня мала по сравнению с массой подвешенного груза, то задача, как мы видели (см. § 33), сводится к колебаниям системы с одной степенью свободы. Рассмотрим теперь ту же задачу в общем случае. Дифференциальное уравнение (150) для продольных колебаний стержня остается без изменений:

где

Располагая начало координат в заделанном конце стержня, получаем для этого конца условие

Для другого конца, где прикреплен груз, напишем граничное условие, принимая во внимание, что растягивающие напряжения, появляющиеся на этом конце при колебаниях, обусловлены силами инерции подвешенного груза. Обозначим через вес подвешенного груза, приходящийся на единицу площади поперечного сечения стержня. Тогда, приравнивая растягивающие напряжения на конце силам инерции груза получаем

Возьмем одно из главных колебаний системы и предположим, что соответствующие ему перемещения пропорциональны тогда и где X — функция только х. Подставляя принятое выражение для и в основное уравнение задачи (150), получаем Отсюда

Чтобы удовлетворить условиям (а) и (b), нужно положить

Обозначая через а отношение веса стержня к весу груза и полагая, что перепишем второе условие в таком виде:

Корни этого трансцендентного уравнения позволяют вычислить значения периодов главных колебаний описываемой системы. Основному типу колебаний будет соответствовать наименьший корень уравнения. Некоторые значения этого корня для различных а приведены в табл. 20.

Таблица 20 (см. скан)

Вычислив последовательные корни уравнения (с), можно написать выражения для каждого типа собственных колебаний. Для типа порядка общее выражение для перемещений напишем так:

Заключенный в скобки множитель представляет собой нормальную координату Первый множитель, зависящий от х, является соответствующей нормальной функцией. В самом общем случае колебание нашей системы получается сложением главных колебаний (d), и мы можем написать

Воспользуемся нормальными координатами при изучении вынужденных колебаний. Для этого составим выражения кинетической и потенциальной энергии системы. Выражения эти не будут содержать членов с произведениями координат и соответствующих им скоростей, так как взятые координаты являются главными координатами системы.

В качестве проверки приводим здесь соответствующие вычисления;

Интегралы вида

обращаются в нуль в силу уравнения (с).

Составим теперь выражение для живой силы системы:

Подставляя вместо и его выражение (е) и принимая во внимание, чаю в силу уравнения (с)

получаем

Выражая через и пользуясь уравнением (с), представляем в таком виде:

Дифференциальные уравнения движения (146) запишутся так:

Мы органичимся лишь колебаниями, возникающими под действием сил для чего воспользуемся решением (144), которое в данном случае напишется так:

Подставляя это в выражение (е), получаем

Для получения перемещений груза нужно только в этом выражении положить и вместо поставить соответствующее значение обобщенной силы.

В качестве примера возьмем случай, когда в начальный момент к концу стержня приложена сила Для обобщенной силы получаем такое выражение: Следовательно,

Если беспредельно уменьшать вес подвешенного груза, то величина а беспредельно возрастет и корни уравнения (с) будут определяться такой формулой:

Подставляя эту формулу в выражение (156), приходим к ранее полученному решению для стержня с одним заделанным и другим свободным концами.

Второй крайний случай получаем, когда а стремится к нулю и, следовательно, корни уравнения (с) стремятся к такому выражению:

Первый корень стремится к нулю, к нулю стремятся также все члены, кроме первого в общем решении (156). В пределе приходим к системе с одной степенью свободы и для перемещения подвешенного груза получаем выражение

Наибольшее удлинение получается вдвое больше того, которое мы бы имели при статическом действии растягивающей силы. Таким образом, для двух крайних случаев оказывается справедливым высказанное Клапейроном положение, что наибольшая деформация, вызываемая внезапно приложенной силой, вдвое больше той, которая получается при статическом действии такой же силы.

Доказательство Клапейрона основано на предположении, что в момент наибольшей деформации вся работа, совершенная приложенной силой, полностью обратится в потенциальную энергию деформации. Предположение это в только что рассмотренной задаче справедливо для двух крайних случаев, но при конечном значении а корни трансцендентного уравнения (с) будут несоизмеримы и мы не будем иметь такого момента, когда кинетическая энергия полностью обращается в потенциальную. Поэтому наибольшее удлинение должно получиться меньше двойного статического удлинения.

Если вес стержня мал по сравнению с весом груза, величина будет мала. Для определения периода основного колебания уравнение (с) можно заменить таким:

В качестве первого приближения можно положить таком случае период основных колебаний будет

что совпадает с результатом (137) для системы с одной степенью свободы.

В качестве второго приближения для корня уравнения можно взять

В таком случае

Получаем известное правило: чтобы учесть влияние собственного веса стержня на период колебаний подвешенного груза, нужно представить себе треть веса стержня присоединенной к грузу.

Особое преимущество дает использование нормальных координат в тех случаях, когда желательно сравнить перемещения системы при колебаниях с теми статическими перемещениями, которые мы получили бы при бесконечно медленном изменении раскачивающей силы. Такие сравнения приходится на практике делать во многих случаях, например при оценке степени достоверности показаний индикаторов, применяемых в паровых машинах и газовых двигателях, при определении давлений газов во время взрыва по деформациям особых крешеров и т. д. Поясним это на рассмотренном выше примере груза, подвешенного на упругом стержне. Предположим, что к грузу приложена периодическая сила, изменяющаяся по закону Чтобы найти в этом случае значение обобщенной силы соответствующей координате дадим этой

координате приращение При этом конец стержня, как видно из общего выражения (е), переместится на величину и приложенная к нему сила совершит работу Следовательно, и уравнения (146) будут иметь такой вид:

Ограничиваясь лишь перемещениями вызываемыми периодической силой, получим на основании (142)

Перемещение конца стержня представится так:

Заметим, что величина представляет собой частоту собственных колебаний системы порядка Из выражения (157) видим, что в тех случаях, когда частота раскачивающей силы приближается к частоте одного из типов собственных колебаний системы, мы будем иметь явление резонанса. Соответствующий таен в бесконечном ряде выражения (157) приобретет преобладающее значение.

Чтобы подучить статическое перемещение системы, нужно только в знаменателе каждом) из членов ряда (157) положить тогда будем иметь

Принимая во внимание, что

приходим к известной формуле для удлинения призматического стержня под действием статически приложенной силы.

Мы видим, что статические перемещения будут мало отличаться от динамических лишь в том случае, если мало по сравнению с величинои т. е. если период раскачивающей силы велик по сравнению с периодом основных колебаний системы. В этом случае, ограничиваясь первым членом разложения (157), можем заключить, что принимая динамические перемещения равными статическим, опускаем погрешность порядка

Сделанные здесь заключения легко распространить на другие случаи действия сил, так как мы всегда можем периодическую силу представить тригонометрическим рядом и изучить действие каждого отдельного члена этого ряда. В частности, по отношению к намеченной выше задаче о показаниях индикатора можно заключить, что эти показания дадут значения давления пара, близкие

к действительным лишь в том случае, если время одного оборота машины можно считать большим по сравнению с периодом основных колебаний поршня индикатора.