§ 29. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки

Формулы, полученные в предыдущем параграфе для полосы высокого прямоугольного поперечного сечения, можно применять и к двутавровым балкам, если отношение высоты балки к ее пролету — малая величина и полки балки имеют сравнительно малую ширину. В противном случае, т. е. при коротких балках с широкими полками, найденные выше формулы будут давать для величин критических нагрузок преуменьшенные значения, и двутавровые балки в действительности будут значительно устойчивее. Эта разница между устойчивостью полосы и двутавровой балки обусловлена жесткостью полок последней, в значительной мере влияющих на явление кручения. Для большей ясности мы установим связь между жесткостью полок и кручением балки на простейшем примере и потом уже воспользуемся найденной зависимостью для решения вопросов устойчивости.

Рис. 62.

Если двутавровую балку скручивать парами сил, приложенными по концам (рис. 62, а), то кручение будет постоянным по длине и связь между скручивающим моментом и кручением можно по-прежнему (см. выражение (97) § 28 части второй) представить прежней формулой

При этом полки балки при малых закручиваниях почти не изгибаются в плоскости их наибольшей жесткости (рис. 62, б). Иной результат получим, если будем скручивать двутавровую балку с одним заделанным концом (рис. 62, в, г). В этом случае скручивание балки сопровождается изгибом полок в плоскости их наибольшей жесткости; углы закручивания будут меньше, чем при свободных концах, и кручение будет изменяться вдоль оси балки. Скручивающий момент будет уравновешиваться отчасти напряжениями кручения [формула (а)], отчасти моментом перерезывающих сил, возникающих при изгибе полок.

Как раз с таким явлением нам и придется иметь дело при выпучивании двутавровых балок, изгибаемых в плоскости их наибольшей жесткости.

Обозначим через величину наибольшей жесткости при изгибе одной полки (величина эта с достаточной для практики точностью может быть принята равной тогда при изгибе полки (рис. 63) в ней возникает перерезывающая сила [Результат этот получается из формулы (3) [см. § 1], если в ней заменить х на на Принимая во внимание, что при малых углах закручивания между прогибами полки и углом закручивания имеется зависимость находим, что поперечные силы действующие в полках, дают момент относительно оси

Присоединяя этот момент к моменту, соответствующему собственно кручению двутавровой балки, приходим к такой зависимости между скручивающим моментом и углом закручивания

Рис. 63.

Второй член этой формулы оценивает влияние изгиба полок; он будет иметь тем меньшее значение, чем меньше и чем меньше высота балки по сравнению с пролетом

Переходя теперь к исследованию устойчивости двутавровых балок, мы можем воспользоваться дифференциальными уравнениями, полученными для полосы, нужно будет только везде произвести изменение в выражении для именно вместо зависимости (а) поставить везде выражение (127).

В случае чистого изгиба нужные нам дифференциальные уравнения для искривленной формы равновесия напишутся так [см. формулу (а) § 28]:

Исключая из этих уравнений и вводя обозначения

приходим к уравнению

общий интеграл которого напишется так:

где

Принимая во внимание условия на концах

заключаем на основании условий 1 и 2, что

Условия 3 и 4 приводят нас к таким уравнениям:

откуда заключаем: Следовательно,

Отсюда, принимая во внимание обозначения получаем

Сравнивая этот результат с формулой (120) для случая чистого изгиба полосы, заключаем, что балка будет тем устойчивее полосы, чем большее значение имеет отношение

Формулу (128) можно переписать в таком виде:

Причем ряд значений коэффициента вычисленных для различных приведен в табл. 13.

Таблица 13 (см. скан)

Отсюда мы видим, как с уменьшением жестокости полок коэффициент приближается к и балка по своим свойствам приближается к полосе прямоугольного сечения. Из формулы (128) легко получаем значение критических

напряжений

Принимая во внимание наши обозначения

получаем

В дальнейшем будем пользоваться обозначением

тогда

Приведенные в табл. 13 значения критических напряжений вычислены в предположении

Таким образом, расчет балки на устойчивость сводится в рассматриваемом случае к вычислению по формуле (129) значения и подыскиванию соответствующего значения которое нужно помножить на величину где определяется формулой (130).

В случае изгиба двутавровой балки силой, приложенной на конце (см. рис. 60). нужные нам дифференциальные уравнения напишутся так [см. уравнения (b) §28]:

Исключая отсюда получаем

Это дифференциальное уравнение четвертого порядка проинтегрировано нами при помощи бесконечных рядов, и из условий на концах найдено для критической нагрузки выражение

Причем оказалось, что значения коэффициента как и в предыдущем случае, зависят лишь от отношения определяемого формулой (129). Несколько значений приводим в табл. 14.

Для значений коэффициент можно находить по такой приближенной формуле:

Точно так же, как и в предыдущем случае, мы легко можем получить формулу для критических напряжений. Они оказываются пропорциональными и значения их для приведены в табл.

Таблица 14 (см. скан)

При изгибе балки силой, приложенной посередине пролета (см. рис. 61), мы на основании уравнений (d) предыдущего параграфа получаем нужные нам дифференциальные уравнения:

откуда легко может быть подучено дифференциальное уравнение четвертого порядка для (3, которое нами проинтегрировано при помощи бесконечных рядов. Мы здесь покажем, как та же задача решается путем рассмотрения энергии системы. Отличие от того, что мы имели в соответствующей задаче для полосы (см. уравнение (f) § 28], заключается лишь в несколько более сложном выражении для потенциальной энергии изгиба. При составлении этого выражения придется принять во внимание, что прогибы полок балки вследствие кручения не равны прогибам оси балки, а отличаются от последних на величины таком случае энергия изгиба представится таким выражением:

Вторым членом в этом выражении учитывается влияние жесткости полок при кручении.

Уравнение для определения в случае двутавровой балки, соответствующее уравнению (f) для полосы, напишется так:

или, принимая во внимание первое из уравнений равновесия (d) и пользуясь обозначением (129), получаем

Полагая

и выбирая так, чтобы имело минимальное значение, можем найти величину с любой степенью точности. Ограничиваясь лишь одним первым членом ряда (f), мы получаем решение, точность которого около 0,5%. Второе приближение, как можно заключить из сравнения его с результатами решения бесконечными рядами, дает погрешность лишь в четвертом знаке. На основании этих вычислений получаем

Значения коэффициента зависят лишь от отношения Ряд этих значений приводим в табл. 15.

Таблица 15 (см. скан)

От критической нагрузки переходим к критическим напряжениям

где

Критические напряжения, вычисленные для приведены в третьей графе табл.

Все эти результаты получены в том предположении, что точка приложения силы совпадает с центром тяжести среднего поперечного сечения балки.

Всякое повышение точки приложения силы, очевидно, сопровождается уменьшением устойчивости балки. Понижению точки приложения соответствует увеличение устойчивости. Мы даем в четвертой и пятой строчках приведенной выше таблицы значения вычисленные для тех случаев, когда точка приложения силы совпадает с верхней или нижней гранью балки. При вычислениях, как и раньше, принято

Все вычисления произведены здесь в предположении первой искривленной формы равновесия, не имеющей точек перегиба. Иногда бывают устройства, при которых не только концы балки, но и ее среднее сечение не могут поворачиваться относительно оси (см. рис. 61) В таком случае первая искривленная

форма будет иметь одну точку перегиба посередине пролета (рис. 64). Значение критической нагрузки представится прежней формулой

Величины коэффициента и критических напряжений, вычисленных при

приводим в табл. 16.

Таблица 16 (см. скан)

Таблица 17 (см. скан)

Если концы балки заделаны так, что они не могут вращаться вокруг оси 20, ни вокруг оси то первая искривленная форма изогнутой оси балки в плоскости будет иметь вид, представленный на рис. 65.

Рис. 65.

Рис. 64.

Для величин сохраняются такие же выражения, как и в предыдущих случаях. Значения коэффициента приведены в табл. 17.

Если балка с опертыми концами изгибается равномерно распределенной нагрузкой (рис. 66, а), то формулы для критической нагрузки и критического напряжения сохраняют прежний вид (рис. 66, б):

Значения при приводим в табл. 18, где даны также значения для тех случаев, когда нагрузка приложена по верхней или нижней грани балки.

Таблица 18 (см. скан)

Значения Для второй формы равновесия (рис. 66, б), получающейся при дополнительном закреплении посередине пролета, приводим в табл. 19.

Пользуясь всеми приведенными таблицами, мы без всяких затруднений можем проверить двутавровую балку на устойчивость для рассмотренных случаев нагрузки. Проверку начинаем с вычисления величины [формула Нужное для этого значение С может быть вычислено по приближенной формуле

Таблица 19 (см. скан)

Рис. 66.

Сен-Венана или при помощи аналогии Прандтля. Для найденного значения подыскиваем в таблице соответствующее критическое напряжение. Это табличное значение нужно умножить на или чтобы получить искомое критическое напряжение 2.

Получаемая таким путем величина критического напряжения будет соответствовать действительности, если только она не превосходит предела упругости материала.