§ 56. Изгиб пластинки с заделанными краями

Мы ограничимся рассмотрением изгиба пластинки равномерно распределенной нагрузкой и, чтобы воспользоваться условиями симметрии, расположим координатные оси, как указано на рис. 108. Нам нужно найти решение уравнения

которое удовлетворяло бы на контуре условиям

Рис. 108.

Положим

где новая функция х и у.

Подставляя (b) в уравнение (а), находим, что должно удовлетворять уравнению

Подставив (b) в условия на контуре пластинки, найдем

Уравнением (а) и условиями определяется функция которая, очевидно, будет четной функцией относительно х и у. Функцию эту будем искать в таком виде:

где функция только функция только х. Функции эти подберем так, чтобы каждый член рядов, входящих в (d), представлял собой четную функцию х и у, удовлетворял уравнению (а) и обращался в нуль на контуре пластинки. Поступая так, как это мы делали в предыдущем параграфе, легко находим, что нужные нам функции удовлетворяющие поставленным условиям, напишутся так:

Произвольные постоянные входящие в выражение (d), подберем так, чтобы были удовлетворены условия (с) на краях пластинки. Подставляя в эти условия вместо выражение (d) и вместо их значения (е), получаем

Функции как четные могут быть представлены в нашем случае в виде таких рядов:

где коэффициенты имеют значения

Правые части уравнений (f) и также могут быть представлены в виде тригонометрических рядов, которые напишутся так:

Подставив эти разложения в уравнения (f) и получим

Выделяя из двойных сумм, входящих в эти уравнения, члены, для которых и приравнивая нулю коэффициенты при каждом приходим к таким системам уравнений с бесконечным числом неизвестных

Эти уравнения после некоторых сокращений можно представить в такой формез

Здесь для упрощения приняты такие обозначения

Дальнейший расчет пластинки с заделанными краями при заданном отношении ее сторон состоит в разыскании значений коэффициентов удовлетворяющих уравнениям (225). Задача эта может быть разрешена путем последовательных приближений. Ход вычислений покажем на случае квадратной пластинки, когда и обе системы уравнений (225) становятся одинаковыми. При этом Вычисляя последовательные значения о, приходим к такой системе уравнений:

Легко видеть, что с увеличением различие между двумя последовательными уравнениями убывает, и при достаточно большом присоединение новых уравнений мало будет влиять на значения вычисленные на основании всех предыдущих уравнений. Для получения первого приближения

коэффициентов мы отбросим все члены, расположенные справа от ступенчатой линии. Пользуясь этими приближенными значениями, можно из первого уравнения найти второе приближение для из следующего уравнения находим второе приближение для Повторяя вычисления несколько раз, можно обеспечить надлежащую степень точности коэффициентов. Таким образом получаем для квадратной пластинки следующие значения коэффициентов

Таблица 29 (см. скан)

Подобным же образом могут быть определены коэффициенты из уравнений (225) при любом соотношении между сторонами пластинки.

Подставив полученные таким образом значения коэффициентов в формулы (d) и (b), получим выражение для прогиба пластинки в форме ряда. Члены ряда быстро убывают и при достаточно большом присоединение дальнейших членов оказывает лишь ничтожное влияние на величину Это обстоятельство дает некоторое основание считать, что полученный нами ряд представляет искомую функцию Наибольший прогиб в рассматриваемом случае получится в центре пластинки, и мы его найдем, если в выражении для положим Значения для различных соотношений между сторонами приводим в табл. 29.

Пользуясь выражением для прогиба, составляем формулы для изгибающих моментов и для давлений на контуре. Наибольшие по абсолютному значению изгибающие моменты получаются на контуре в серединах длинных сторон пластинки. Несколько значений этой величины при различных соотношениях между сторонами пластинки даны в табл. 29. Изменения изгибающих моментов по краям пластинки представляются такими формулами:

Наибольшие давления на контуре получаются также в серединах длинных сторон пластинки. Значения их даны в табл. 29. В той же таблице приведены

также величины полных давлений приходящихся соответственно на стороны контура пластинки. Полное давление на короткую сторону мало изменяется при изменении соотношения между сторонами и может быть принято равным тому давлению, которое имеет место в случае квадратной пластинки.

Сравнивая числа полученной таблицы с теми результатами, которые мы имели для пластинки с опертыми краями (см. табл. 26), заключаем, что заделка краев пластинки весьма сильно влияет на величину наибольшего прогиба. При квадратной пластинке прогиб благодаря заделке уменьшается более чем в три раза. В случае пластинки с весьма вытянутым прямоугольным контуром прогиб вследствие заделки по контуру уменьшается в пять раз. Что касается максимальных напряжений, то при квадратном контуре они для пластинки с заделанными краями получаются несколько большими, чем для пластинки, опертой по контуру. Противоположное заключение мы получаем для пластинок с вытянутым прямоугольным контуром. Например, для соотношения заделка краев пластинки сопровождается уменьшением напряжений примерно на 7%. Заметим здесь, что с увеличением отношения прогибы и максимальные напряжения для пластинок с заделанными краями быстро приближаются к тем значениям, которые соответствуют бесконечно длинным пластинкам. При мы можем для расчета прямоугольных пластинок с заделанными краями пользоваться с достаточной для практики точностью теми формулами, которые были получены для пластинок, изгибающихся по цилиндрической поверхности.

Прием, который был здесь применен к расчету пластинки с заделанными краями, может быть использован и при других способах закрепления пластинки по контуру.

При надлежащем выборе алгебраической части общего решения (b) можно получить решения для пластинки, опирающейся на упругий контур, для пластинки с упруго заделанными краями и для пластинки, опирающейся лишь в четырех точках, соответствующих вершинам прямоугольника.

При исследовании изгиба пластинки с заделанными краями можно воспользоваться также общим методом В. Ритца. В таком случае приближенное выражение для прогиба берем в форме ряда

причем функции выбираем так, чтобы каждый член ряда удовлетворял условиям закрепления на контуре пластинки. Значения коэффициентов находятся путем применения начала возможных перемещений. На всяком возможном перемещении приращение потенциальной энергии изогнутой пластинки (см. формулу (208)) должно равняться работе изгибающих сил. Следовательно,

Таким образом, разыскание искривления пластинки сводится к нахождению максимума или минимума интеграла

Подставив сюда вместо приближенное значение придем при определении коэффициентов к такой системе линейных уравнений?

Вычисления показывают, что небольшое число членов ряда (h) обеспечивает вполне достаточную для практики точность величины наибольшего изгибающего момента.

Намеченный прием расчета может быть применен и при других условиях закрепления краев пластинки, нужно только соответствующим образом подобрать функции ряда

Тот же прием с большим успехом может быть применен к исследованию колебаний пластинок с заделанными и свободными краями