§ 45. Продольный удар стержней

При решении вопроса о напряжениях, возникающих в случае продольного удара призматических стержней, обыкновенно пользуются приближенными формулами такого же вида., как мы получили для поперечного удара , но уже Томас заметил, что влияние массы стержня должно быть учитываемо более рациональным способом, чем это делается при выводе приближенной формулы. Он, между прочим, показал, что, как бы ни был мал ударяющий груз, при ударе возникнут остаточные деформации, если только отношение скорости ударяющего груза к скорости распространения колебаний в стержне (скорости распространения звука) превосходит относительное удлинение, соответствующее пределу упругости материала. В самом деле, в момент удара по плоскости соприкасания 2 в стержне возникнут сжимающие напряжения и соответствующее им сжатие будет распространяться со скоростью звука вдоль стержня. Возьмем весьма малый помежуток времени t, за который можно считать скорость падающего груза не изменившейся. За этот промежуток сжатие в стержне распространится на протяжении участка (рис. 83). Укорочение этого участка будет равно перемещению падающего груза Следовательно, относительное сжатие в момент удара равно что соответствует высказанному выше положению Юнга.

Рис. 83.

Вопрос о колебаниях, возникающих при продольном ударе стержня с одним заделанным и другим свободным концами (рис. 83), впервые был разрешен

Навье при помощи тригонометрического ряда. При решении этой задачи Навье исходил из предположения, что в момент удара ударяющий груз сообщает свою скорость концевому поперечному сечению ударяемого стержня и потом остается в соприкасании со стержнем, по крайней мере, в продолжение полупериода основных колебаний стержня. Таким образом, вопрос об ударе сводится к исследованию продольных колебаний стержня с прикрепленным к нему на конце грузом, причем в начальный момент стержень находится в покое, а грузу сообщена скорость

Разыскание этих колебаний может быть выполнено без всяких затруднений, если воспользоваться общим решением [(d) § 36] для собственных колебаний стержня с подвешенным к нему грузом.

Получаемое таким путем решение оказывается неудобным для приложений, так как из него очень трудно найти выражение для наибольших напряжений. Поэтому Сен-Венан, много поработавший над исследованием продольного удара стержней, обратился к решению соответствующих уравнений в замкнутой форме и получил сравнительно простые формулы для случая продольного удара двух стержней со свободными концами, а также для стержня с одним заделанным и другим свободным концами. В дальнейшем эти решения были упрощены благодаря трудам Буссинэ, Гюгонио и Себерта 3. Мы приводим здесь результаты, относящиеся к стержню с одним заделанным и другим свободным концом (рис. 83). Сохранив прежние обозначения (§ 36), будем иметь для продольных колебаний уравнение

где

Условия на концах напишутся таким образом:

Обозначив через отношение веса ударяющего груза к весу стержня, перепишем условие на свободном конце стержня так:

В начальный момент для всех значений х между и Для концевого сечения начальная скорость равна скорости ударяющего груза.

Общее решение уравнения (а) можно представить так:

где представляют собой произвольные функции.

Принимая во внимание условие у заделанного конца, заключаем, что Следовательно, и общее решение (с) может быть представлено так:

В дальнейшем будем рассматривать как функцию аргумента и будем полагать в случае надобности равным или равным Попробуем теперь на основании начальных условий составить функцию для определенного интервала.

Так как в начальный момент для всех значений х между и то, следовательно,

для всех значений заключенных в пределах

Отсюда следует, что при условии В таком случае для этого промежутка представляет собой постоянную величину, которую можно положить равной нулю.

Чтобы найти выражение для вне указанных границ, обратимся к граничному условию Подставляя вместо и его выражение (d), получаем для уравнение

которое может быть переписано в таком виде:

Этим уравнением мы воспользуемся для определения в пределах от до Правая часть уравнения (е) в этих пределах будет оставаться равной нулю, так как величина будет изменяться в пределах от до где равно нулю. Интегрируя уравнение (е), находим

при

Для определения произвольной постоянной С используем начальные условия. Выражение для скорости движения отдельных поперечных сечений стержня напишется так:

В момент удара скорости всех промежуточных сечений равны нулю. Скорость концевого сечения, подвергающегося действию удара, сразу становится равной —у. При помощи мы запишем это так

Первый член в левой части уравнения равен нулю на основании ранее доказанного, следовательно,

Вставляя вместо его значение (f), получаем

откуда

Окончательно получаем

при

Имея это значение и подставляя его в правую часть уравнения (е), мы можем найти путем интегрирования выражение

при

Это дает нам возможность вычислить для следующего интервала и т. д. Имея эти выражения, можно путем интегрирования определить и потом найти все элементы, характеризующие явление удара: величину наибольших напряжений, величину укорочения сжатого стержня (перемещение свободного конца.) и, наконец, продолжительность удара.

Очевидно, что соприкасание груза со стержнем будет продолжаться до тех пор, пока величина

не станет положительной, и время t, соответствующее концу удара, не определится из условпя

Пока левая часть уравнения (1) представляется при помощи формулы (h) и в нуль не обращается. В этих пределах не произойдет окончания удара.

При уравнение (1) при помощи напишется так:

Это уравнение даст нужное нам решение при условии

При больших значениях удар не окончится в пределах и нужно перейти к составлению уравнения для следующего интервала.

Что касается наибольших напряжений, то они получаются в закрепленном конце стержня. При большом например эти напряжения можно вычислять по приближенной формуле 2

При следует пользоваться формулой

Наконец, для Сен-Венан дает формулу

Заметим здесь, что приведенное решение для продольного удара призматических стержней основано на предположении, что в начальный момент все точки концевого поперечного сечения стержня сразу получают скорость ударяющего груза. Это требует идеально гладких плоскостей соприкасания. Практически всегда приходится иметь дело с различными неровностями, благодаря которым соприкасание сначала получается лишь в нескольких точках сечения. Здесь начинаются местные деформации и лишь впоследствии может получиться более полное соприкасание. Вследствие этого обстоятельства опыты, которые ставились для проверки решения Сен-Венана, не подтвердили его результатов. Чтобы достигнуть совпадения опытных данных с расчетными, приходится искусственным путем уменьшать влияние местных деформаций по плоскости удара. Для этого берут ударяемый стержень из податливого материала, например каучука, и снабжают ударяемый конец твердым наконечником или заменяют ударяемый стержень спиральной пружиной. Другой прием, применяемый для приведения к совпадению теории продольного удара с данными опытов, заключается в том, что концам ударяющихся стержней придают закругленную форму. Этим путем достигается полная определенность в отношении местных деформаций, которые здесь могут быть найдены при помощи формулы Герца.