§ 49. Аналогия Прандтля

Вопрос о распределении касательных напряжений при кручении может быть представлен особенно наглядно, если воспользоваться полной аналогией между основным уравнением (76) для кручения и дифференциальным уравнением для поверхности провисания нерастяжимой мембраны, равномерно натянутой на контур, соответствующий контуру поперечного сечения стержня, и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. Обозначим через растягивающее усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, и через нагрузку на единицу поверхности. Пусть А (рис. 67) представляет элемент мембраны, вырезанный плоскостями, параллельными плоскостям

Кривизну соответствующих сечений мембраны мы можем положить равной

Проектируя все силы, приложенные к элементу А, на направление 2, получаем уравнение откуда

Положив приведем уравнение для поверхности провисания мембраны к полному совпадению с уравненим (76). Величины провисания z будут давать соответствующие значения функции напряжений

Представим себе поверхность мембраны, изображенной в горизонталях. Тогда нетрудно будет доказать, что направление напряжения в каждой точке сечения стержня совпадает с направлением касательной к соответствующей горизонтали и величина напряжения пропорциональна уклону поверхности мембраны, т. е. густоте горизонталей в рассматриваемой точке. Пусть горизонталь, проходящая через точку нормаль к этой горизонтали, проведенная в А (рис. 68). Проекция напряжения на направление нормали будет

Принимая во внимание, что и вставляя вместо их выражения через находим

Рис. 67.

Рис. 68.

Составляющая напряжения равна нулю, так как остается постоянной вдоль каждой горизонтали.

Уклон поверхности мембраны в точке А представится так:

Принимая во внимание, что

получаем

т. е. величина напряжения определяется величиной наибольшего уклона мембраны в рассматриваемой точке или густотой горизонталей. Заметим еще, что удвоенный объем холмика, образованного выпучившейся мембраной, дает, как видно из формулы (75), величину скручивающего момента.

В случае стержня, поперечное сечение которого представляет собой вытянутый прямоугольник (рис. 69), аналогия Прандтля позволяет сразу

установить приближенную формулу для напряжений и для жесткости при кручении. Предположим, что контур сечения затянут равномерно нагруженной мембраной. Двумя сечениями, перпендикулярными к длинным сторонам прямоугольника, выделяем из мембраны элемент тптхпг, размер которого в направлении длины прямоугольника равен единице. Мы с достаточной точностью можем считать, что вдали от концов прямоугольника мембрана провисает по цилиндрической поверхности. В таком случае линии пересечения мембраны с нормальными плоскостями и тгпг будут близки к линии провисания гибкой нити, натянутой силой и равномерно нагруженной нагрузкой Линию провисания тяжелой гибкой нити мы можем принять за параболу. Тогда наибольшее провисание будет и тангенс угла наклона касательных к параболе у точек закрепления нити равен Чтобы от мембраны перейти к напряжениям при кручении, нужно, как мы видели, положить В таком случае касательное напряжение в точках ттгппх на длинных сторонах прямоугольного контура, определяемое соответствующим уклоном, будет равно

Рис. 69.

Пренебрегая влиянием поперечных сторон прямоугольника и принимая всю поверхность мембраны за параболический цилиндр, для жесткости при кручении, равной двойному объему цилиндра, деленному на получаем формулу

Приняв провисание мембраны по параболическому цилиндру, получим линейный закон изменения касательных напряжений по ширине прямоугольного сечения (рис. 70). Момент всех усилий, соответствующих этим касательным напряжениям, т. е. равен половине скручивающего момента, получаемого из формулы (86) умножением С на величину Вторую половину скручивающего момента дают касательные напряжения у поперечных сторон прямоугольного контура, где принятая нами форма провисания мембраны не дает надлежащего представления о распределении напряжений.

Рис. 70.

Формула (86), полученная для С в случае узкого прямоугольного сечения, может быть применена также к сечениям, представленным на рис. 71. Для получения нужно себе представить эти сечения выправленными в прямоугольник. В случае трубчатого сечения (рис. 72) придется иметь дело со сложным контуром. На каждом из контуров функция напряжений должна оставаться постоянной, но эта постоянная будет для каждого контура иметь свое значение. Чтобы распространить и на этот случай аналогию с мембраной, представим себе плоскость внутреннего контура смещенной относительно плоскости наружного

контура. Внутренний контур представит собой очертание жесткого недеформирующегося дна, соединенного с наружным контуром посредством гибкой мембраны. Поверхность мембраны, испытывающей равномерное давление, представит закон распределения касательных напряжений. Формула (75) и в этом случае сохранит свое значение. Для определения скручивающего момента нам нужно будет взять удвоенный объем, заключенный между плоскостями контуров и поверхностью мембраны.

Рис. 71.

Особенно просто решается вопрос о напряжениях и угле закручивания в том случае, когда толщина стенок сечения весьма мала. При этом условии можно пренебречь провисанием мембраны. Уклон поверхности, образованной мембраной, по ширине кольца будет постоянным и ему будет соответствовать равномерное распределение касательных напряжений. Направление напряжений, очевидно, будет совпадать с направлением касательной к контуру. Если через обозначим величину касательного напряжения, измеряемую уклоном мембраны, и через ширину кольцевого сечения может быть переменной), то постоянная разность уровней внутреннего и наружного контуров (рис. 73) будет равна Следовательно, напряжения изменяются вдоль кольца обратно пропорционально Объем, заключенный между плоскостями контуров и мембраной, можно принять равным где площадь, ограниченная средней линией кольца. Момент определится из уравнения (75):

Рис. 72.

Рис. 73.

Формулу для угла закручивания получаем, приравнивая работу крутящего момента потенциальной энергии деформации. Выделяя единицу длины стержня, будем иметь

откуда при помощи уравнения (87) получаем

Найденные формулы (87) и (88) с достаточной для практики точностью решают вопрос о кручении различного рода трубчатых стержней Например, для сечения, представленного на рис. 74, будем иметь

Для угла кручения получим

Когда трубчатый стержень имеет промежуточные стенки (рис. 75), мы также можем воспользоваться аналогией Прандтля. Каждый из простых контуров располагается при этом на определенном уровне и соединяется с другими контурами посредством мембраны. Если пренебречь провисанием мембраны в случае тонкостенных трубок, то получим, как и в предыдущем случае, равномерное распределение касательных напряжений по толщине стенки. Обозначая эти напряжения для различных стенок через (для каждой стенки эти величины будут в общем случае переменными) и соответствующие толщины стенок через находим, что возвышение контура А над наружным контуром трубки равно Для контура В та же величина равна

Рис. 74.

Рис. 75.

Как следствие получаем

Скручивающий момент будет измеряться удвоенным объемом, заключенным между плоскостями контуров и мембраной. Обозначая через площади, очерченные пунктирными средними линиями и заключающие контуры мы для этого момента получаем такую формулу:

Сюда входят две неизвестные величины Чтобы их определить, обратимся к углу закручивания стержня. Приравнивая работу скручивающего момента потенциальной энергии деформации, получаем:

Таким образом, мы получили три уравнения , в которые входят четыре неизвестные величины Для составления недостающего

четвертого уравнения примем во внимание, что при кручении углы в плоскости поперечного сечения не искажаются и угол закручивания имеет одно и то же значение для каждой части сечения. Разобьем скручивающий момент на два слагаемых соответственно двум внутренним контурам и положим

Тогда потенциальная энергия деформации, приходящаяся на единипу длины стержня, может быть представлена в таком виде:

Составляя производную от этого выражения по мы должны полу» чить одну и ту же величину, именно величину угла На основании этого получаем уравнение

При помощи уравнений решаем вопрос о распределении напряжений. Уравнение (с) дает возможность найти соответствующий угол закручивания. Указанный прием расчета трубчатых стержней на кручение может быть распространен на случай любого числа промежуточных стенок.