§ 66. Об устойчивости пластинок, подкрепленных жесткими ребрами

Вопрос об устойчивости пластинок, подвергающихся действию усилий в их срединной плоскости, приобретает все большее практическое значение в связи с увеличением размеров металлических сооружений и повышением прочности материалов, которое позволяет переходить к высшим нормам допускаемых напряжений и, следовательно, к меньшим толщинам применяемых на практике железных и стальных листов. В виде примера можно привести хотя бы военное судостроение. За последние 20 лет водоизмещение крупных броненосцев изменилось с до их длина возросла со до При этом толщины листов обшивки и расстояние между подкрепляющими ребрами почти не изменились. Это показывает, насколько должны были возрасти напряжения в листах при работе корпуса судна как балки и насколько важным становится вопрос о надлежащем подкреплении этих листов, обеспечивающем их устойчивость. То же относится и к листам поперечных судовых переборок, играющих столь важную роль в поперечной крепости судна при постановке его в док. Еще более остро стоит вопрос об устойчивости листов обшивки в таких судах, как миноносцы, где толщины этих листов доведены до минимальных размеров.

Тот же вопрос об обеспечении устойчивости листов подкреплениями мы встречаем в высоких мостах со сплошной стенкой. Толщина стенки обыкновенно мало изменяется с высотой и надлежащая устойчивость достигается путем постановки особых уголков жесткости. Для некоторых случаев практика дает указания относительно расположения подкрепляющих ребер и предельного расстояния между этими ребрами, но эти данные весьма не полны и не

заключают в себе никаких указаний относительно надлежащего выбора жесткости подкрепляющих ребер. Ниже мы, пользуясь приближенным методом, основанным на рассмотрении потенциальной энергии системы, решаем вопрос о выборе надлежащей жесткости подкрепляющих ребер в некоторых частных случаях

Рис. 126.

I. Продольные подкрепления прямоугольной пластинки с опертыми краями, сжатой вдоль одной из сторон. Вопрос об устойчивости такой пластинки мы рассмотрели выше (см. § 60) с достаточной полнотой и можем при помощи табл. 30 вычислить в каждом частном случае соответствующие критические напряжения. Иногда эти напряжения получаются меньшими допускаемых и меньшими тех, которые пластинка приняла бы на себя как часть рассчитываемой конструкции при условии достаточной устойчивости. Выпучивание пластинки не будет, конечно, сопровождаться разрушением всей конструкции, но все же возникает нежелательное явление. Та часть усилия, которая по недостатку устойчивости не может быть воспринята листом, передается на более жесткие части конструкции, служащие для листа контуром, и эти части оказываются перенапряженными. Мы можем достигнуть надлежащей устойчивости листа путем увеличения его толщины, но это обыкновенно сопровождается значительным увеличением веса. Поэтому является более рациональным, не меняя толщины листа, достигнуть нужной устойчивости при помощи дополнительных ребер жесткости. Если пластинку (рис. 126) оставить без подкреплений, то при значения найдутся из формулы (233). Пользуясь прежним обозначением переписываем эту формулу так:

При большой длине пластинка при выпучивании подразделяется на полуволны, число которых найдется при помощи неравенства (f) (см. § 60). В таком случае в формуле (а) число будет обозначать отношение длины волны к ширине пластинки. Если пластинку подкрепить абсолютно жестким продольным ребром, делящим ширину пластинки пополам, то жесткость пластинки возрастет, так как вдвое уменьшится расчетная ширина. В случае большой длины пластинки напряжения возрастут при этом примерно в четыре раза. При установке двух равноудаленных ребер мы уменьшаем расчетную ширину в три раза и получаем дальнейшее увеличение Таким образом, мы всегда можем подобрать надлежащее расстояние между ребрами, при котором будет получаться не меньшим, чем предел текучести материала, и, следовательно, пластинка может быть использована полностью при передаче сжимающих усилий. Для выяснения той жесткости, которую должны иметь подкрепляющие ребра, чтобы их можно было считать абсолютно жесткими, воспользуемся прежним

методом, который мы применяли для неподкрепленной пластинки. Пусть произошло выпучивание пластинки и подкрепляющих ребер по поверхности:

Соответствующая энергия изгиба для пластинки представится так:

Для продольного подкрепляющего ребра, имеющего жесткость и расположенного на расстоянии от края пластинки энергия изгиба напишется так:

Для работы усилий сжимающих пластинку, получаем

Если через обозначим сжимающую силу в рассматриваемом подкрепляющем ребре, то соответствующая работа при выпучивании этого ребра напишется так:

Условие, из которого может быть найдено значение критического напряжения, напишется так:

Подставляя сюда выражения и пользуясь обозначениями

определяющими отношения жесткости и площади поперечного сечения ребра к жесткости и сечению пластинки, получаем

Теперь остается подобрать коэффициенты так, чтобы полученное для выражение имело минимальное значение. Приравнивая нулю производные от

этого выражения по каждому из коэффициентов и принимая во внимание условие приходим к системе линейных однородных уравнений такого вида:

Приравнивая нулю определитель уравнений получаем условие для определения

Возьмем, например, случай одного подкрепляющего ребра, делящего ширину пластинки пополам. Совершенно так же, как и в случае непод креп ленной пластинки, можно и здесь ограничиться рассмотрением выпучивания пластинки по одной полуволне. Полагая и принимая во внимание, что пер представим уравнение (h) в таком виде 1:

Заметим, что уравнения четного порядка будут заключать лишь по одному коэффициенту Соответствующие им значения представляют собой те сжимающие напряжения, при которых искривленная форма пластинки имеет своей узловой линией подкрепляющее ребро. Чтобы оценить влияние жесткости ребра, обратимся к уравнениям нечетного порядка системы Сохраняя лишь первый коэффициент и полагая остальные равными нулю, получаем из первого уравнения такое приближенное значение для критических напряжений:

В случае длинных пластинок это первое приближение, как показали более подробные вычисления, дает для критических напряжений вполне удовлетворительные результаты, и мы им пользовались при составлении табл. 37. Для коротких пластинок необходимо вычисление дальнейших приближений. Второе приближение мы получим, если в системе возьмем первое и третье уравнения, сохранив коэффициенты Приравнивая нулю определитель этих уравнений, приходим к такому уравнению для величины к, обозначающей, как и прежде, отношение

Здесь для краткости введены такие обозначения: с

Уравнением мы пользовались при вычислении к для более коротких пластинок Разыскание третьего приближения для приводит к решению кубического уравнения. Произведенные вычисления показали весьма малую расходимость между вторым и третьим приближениями, что позволяет при расчетах ограничиваться вторым приближением. Ряд значений к, вычисленных для различных приведен в табл. 37. Мы видим, что каждому значению соответствует особое значение при котором к получается наименьшим. Это показывает, что длинная пластинка, подкрепленная ребром, будет при выпучивании подразделяться на ряд полуволн. Длина этих полуволн будет получаться тем большей, чем жестче подкрепляющее ребро. Если взять первое приближение (247), то легко показать, что наименьшего значения к достигает при Пользуясь этой формулой, можно выяснить длину волн, на которые подразделяется весьма длинная пластинка при выпучивании.

Таблица 37 (см. скан)

1. При помощи табл. 37 мы можем в каждом частном случае подобрать надлежащую жесткость подкрепляющего ребра. В качестве примера рассмотрим пластинку, для которой . В таком случае

При отсутствии подкреплений мы получим на основании формулы (а)

Наибольшее критическое напряжение, которое может быть получено при помощи продольного подкрепляющего ребра, найдется из той же формулы (а), если в нее вставить вместо величину Таким образом, найдем

Если мы в качестве подкрепляющего ребра возьмем швеллер № 8, то, принимая во внимание склепывание полки швеллера с широким листом, можно при вычислении жесткости ребра взять момент инерции швеллера относительно оси, лежащей в плоскости соприкасания швеллера с листом. В таком случае и мы имеем

На основании данных табл. 37 заключаем, что при нашем соотношении между сторонами пластинки выбранный швеллер будет играть роль абсолютно жесткого ребра.

2. Если бы мы все оставили без изменения, но увеличили толщину пластинки до 2 см, то имели бы . При отсутствии подкрепляющего ребра мы получили бы

Подкрепляя пластинку швеллером № 8, находим

и из уравнения получим следовательно,

3. Рассмотрим теперь пластинку вдвое большей длины: .

Из табл. 37 видим, что при этом соотношении между сторонами пластинки величина у для обеспечения абсолютной жесткости ребра должна быть больше 10. Возьмем в качестве подкрепляющего ребра швеллер № 10. В таком случае и уравнение (1) дает нам

Подобным же образом может быть решена задача о подкреплениях в случае двух ребер, делящих ширину пластинки на три равные части. В качестве первого приближения мы получим формулу

Несколько значений коэффициента к мы приводим в табл. 38.

Таблица 38 (см. скан)

При помощи формулы легко установить длину тех полуволн, на которые подразделяется весьма длинная пластинка при выпучивании, и можно приблизительно оценить ту жесткость, которую нужно придать подкрепляющим ребрам, чтобы можно было считать их абсолютно жесткими.

Если число равноудаленных продольных ребер больше двух, то для вычисления первого приближения получим из уравнений (h) такую формулу:

Возьмем, например, пластинку с такими размерами: . Вычислим величину при наличии пяти равноудаленных ребер, для которых имеются такие данные:

Подставив данные в формулу (248), найдем Поперечные подкрепления прямоугольной пластинки с опертыми краями, сжатой вдоль одной из сторон (рис. 127). Поступая так же, как и выше при наличии продольных ребер, приходим к системе линейных уравнений вида

Рис. 127.

Здесь имеют прежние значения.

В направлении оси х сжатая пластинка может подразделяться на несколько полуволн. Число их будет зависеть от отношения и от жесткости подкрепляющих ребер.

1. Если ребра обладают одинаковой малой жесткостью и распределены настолько густо, что на каждую полуволну выпучившейся пластинки приходится несколько изогнувшихся ребер, то в бесконечных рядах, входящих в уравнения можно сохранить лишь члены с коэффициентом Тогда для критических напряжений получаем формулу

Здесь обозначает число поперечных ребер; число полуволн, которое должно быть подобрано так, чтобы наша формула давала для наименьшее значение.

2. Если пластинка подкреплена одним поперечным ребром, разделяющим длину пластинки пополам, то из первого уравнения системы получаем в качестве первого приближения

Рассматривая первое и третье уравнения системы мы получим для второе приближение, обычно мало отличающееся от первого. Это показывает, что вычисление дальнейших приближений излишне. Пользуясь вторым приближением, можем для различных соотношений между сторонами пластинки установить те наименьшие значения у, при которых подкрепляющее ребро можно считать абсолютно жестким. Ниже приводим значения 7.

3. Подобным же образом может быть разрешен вопрос о подкреплении пластинки тремя равноудаленными поперечными ребрами одинаковой жесткости.

Несколько значений для у, при которых подкрепляющие ребра начинают играть роль абсолютно жестких подкреплений, мы даем ниже:

III. Подкрепления пластинки, испытывающей чистый сдвиг. Рассмотрим случай длинной прямоугольной пластинки. Если сдвигающие напряжения превзойдут критическое значение (243), то пластинка выпучится и при этом разделится на ряд полуволн (рис. 128). Мы можем повысить устойчивость пластинки введением дополнительных подкреплений. Наиболее действенным является расположение подкрепляющих ребер по направлениям наибольших сжимающих напряжений в пластинке. В некоторых случаях такое расположение не совсем удобно по конструктивным соображениям и приходится усиливать пластинку ребрами, параллельными одной из ее сторон. Если расположить ребра параллельно продольной стороне, то для вычисления критических напряжений можно воспользоваться приближенным приемом, который мы применили для получения решения (242) в случае неподкрепленной длинной пластинки (§ 63). Присоединяя к энергии изгиба пластинки энергию изгиба подкрепляющих ребер, получаем вместо формулы (242) такую:

Рис. 128.

Все обозначения здесь оставлены прежними. Новая величина вошедшая в эту формулу, имеет такое значение:

жесткость ребра расстояние того же ребра от оси х. Для каждого значения нужно подобрать те значения при которых формула дает наименьшее значение Это критическое значение касательных напряжений может быть представлено прежней формулой

Значения коэффициента к приводим в табл. 39.

Возьмем такой численный пример. Стальной лист шириной см и толщиной 1 см подкреплен тремя равноудаленными швеллерами № 8. В этом случае

Таблица 39 (см. скан)

Из табл. 39 находим следовательно,

Увеличив толщину листа до 1,2 см, получим

Если длина и ширина пластинки одного порядка, то для выяснения нужной жесткости подкрепляющих ребер следует обратиться к тому общему методу которым мы пользовались при исследовании неподкрепленной пластинки, находящейся в условиях чистого сдвига (см. § 63).