§ 67. Скручивание стержней переменного сечения

Предположим, что стержень, имеющий форму тела вращения, скручивается парами сил, приложенными на концах. При определении напряжений будем пользоваться тем же полуобратным методом, которому мы следовали при изучении кручения призматических стержней. В случае круглых стержней мы удовлетворили всем уравнениям теории упругости, сделав допущение, что при кручении поперечные сечения стержня остаются плоскими и лишь поворачиваются одно относительно другого, причем радиусы сечения не искривляются. Для некруглых призматических стержней деформации при кручении представились в более сложном виде. Кроме поворачивания сечений нужно было принять во внимание и их искривление, соответствующее перемещениям точек сечения в направлении оси стержня.

Покажем, что в случае стержней, имеющих форму тела вращения, мы удовлетворим всем уравнениям теории упругости, предположив, что круговые поперечные сечения остаются при кручении плоскими. В отличие от того, что мы имели для круглых цилиндрических стержней, нужно лишь допустить возможность искривления радиусов поперечного сечения.

Сохраняя обозначения, которыми мы пользовались при рассмотрении деформаций, симметричных относительно оси, и направляя ось z по оси скручиваемого стержня, положим Что касается перемещения у, то оно представляется неизвестной пока функцией от

Сделав такое предположение относительно перемещений, мы на основании (103) заключаем, что отличными от нуля будут лишь деформации Для составляющих напряжения получаем значения

Из уравнений системы (102) нам остается удовлетворить лишь уравнению

которое может быть представлено в таком виде:

Очевидно, мы этому уравнению удовлетворим, положив

где неизвестная пока функция напряжений от переменных На основании условий (а) заключаем

Чтобы были удовлетворены оба эти условия, функция должна, очевидно, удовлетворять уравнению

которое может быть представлено в таком виде:

Беря для различные решения уравнения (d), будем получать различные распределения напряжений, возможные в скручиваемом стержне, имеющем форму тела вращения. Для выбора определенного решения необходимо задаться условиями на поверхности. Предположим, что стержень скручивается силами, приложенными по концевым поперечным сечениям, и боковая поверхность его свободна от всяких усилий. В таком случае третье из уравнений (101) даст нам на боковой поверхности такое условие:

К тому же условию мы можем прийти и иным путем. Возьмем диаметральное сечение стержня (рис. 99) и какую-либо точку А на контуре этого сечения. Пусть составляющие касательного напряжения, действующего в этой точке по площадке, совпадающей с диаметральной плоскостью. Если боковая поверхность стержня свободна от усилий, то: очевидно, касательное

напряжение в А должно иметь направление касательной к меридиану. Заключение это совпадает с условием (е) и мы его можем записать так:

Обозначая через элемент дуги меридиана, можем представить условие (f) в таком виде: откуда заключаем, что на поверхности стержня

Если задано уравнение меридионального сечения стержня, то условие (f) или совместно с уравнением (d) вполне определяют функцию а следовательно, и распределение напряжений в скручиваемом стержне. При отыскании частных решений проще идти обратным путем, задаваясь различными решениями уравнения (d), и потом из условия (f) находить уравнение меридионального сечения соответствующего стержня.

Рис. 99.

Рис. 100.

Возьмем случай конического стержня (рис. 100). При таком очертании стержня отношение имеет на поверхности стержня постоянное значение и всякая функция от этого отношения удовлетворит условию Чтобы при этом было удовлетворено и уравнение (d), нужно положить

Имея функцию напряжений, дифференцированием находим соответствующие напряжения.

По плоскости поперечного сечения стержня будут действовать касательные напряжения

Постоянная А найдется из того условия, что касательные напряжения должны по плоскости поперечного сечения приводиться к паре сил, равной скручивающему моменту Следовательно,

Вставляя сюда вместо его значение для данного случая, найдем соответствующее значение А. Когда напряжения найдены, перемещение может быть определено из уравнений В случае конического стержня

откуда интегрированием находим

Полученное перемещение не представляется линейной функцией от как мы имели в случае кручения круглых цилиндрических стержней, и радиусы поперечных сечений при скручивании будут искривляться.

При расчетах валов переменного сечения приходится иметь дело с очень резкими изменениями радиуса поперечного сечения. В таком случае аналитический способ решения задачи, намеченный выше, представляет огромные затруднения и задачу приходится решать приближенными способами. Результаты этих приближенных решений приведены в нашем «Курсе сопротивления материалов».