§ 66. Тепловые напряжения

Если тело подвергать неравномерному нагреванию, то соответствующие такому нагреванию деформации отдельных элементов не могут совершаться свободно, — им будут препятствовать соседние элементы, и при этом возникнут напряжения, распределение которых по объему тела будет зависеть от распределения температуры. В качестве примера рассмотрим простейшую задачу, когда распределение температуры имеет ось симметрии. В таком случае соответствующие напряжения и деформации распределятся симметрично относительно той же оси и дифференциальные уравнения равновесия приобретут особенно простой вид.

Пусть обозначает переменную температуру, отсчитываемую от некоторого начального состояния тела, и а — постоянный коэффициент линейного расширения материала. В таком случае вследствие нагревания до температуры каждый элемент тела при условии свободного расширения получил бы равномерное удлинение по всем направлениям, и мы имели бы Свободному расширению будут препятствовать соседние элементы тела. Появятся напряжения которые в свою очередь вызовут деформации еггл В таком случае полные деформации представятся так:

Вставляя вместо полных деформаций их выражения через перемещения (103), находим для деформаций обусловленных напряжениями, такие

выражения:

Пользуясь известными зависимостями (28) между напряжениями и деформациями и сохраняя для объемного расширения прежнее обозначение получаем для напряжении значения

Вставляя их в уравнения равновесия (102), приходим к таким уравнениям,

Решим поставленную выше задачу в простейшем предположении. Допустим, что тело имеет форму весьма длинного кругового цилиндра и температура в любой точке этого цилиндра зависит лишь от расстояния этой точки до оси цилиндра. В таком случае радиальные перемещения и будут одинаковы во всех поперечных сечениях цилиндра, удаленных от концов, и мы можем положить где неопределенная пока постоянная величина.

При сделанных допущениях второе из уравнений (с) будет удовлетворено, первое же может быть представлено в таком виде:

Если распределение температуры известно и задано как некоторая функция от то мы без затруднения находим из полученного уравнения перемещения и, а дальше при посредстве зависимостей (b) определяем и соответствующие напряжения. Произвольные постоянные, входящие в выражения для конечно, должны быть определены так, чтобы были удовлетворены условия на поверхности.

Возьмем установившееся распределение температуры. В таком случае функция должна удовлетворять уравнению

При сделанных выше предположениях относительно уравнение (d) в полярных координатах напишется таким образом:

откуда

Предположим, что мы имеем дело с цилиндром, полым внутри. Пусть внутренний и наружный радиусы цилиндра, соответствующие

температуры на ограничивающих поверхностях. Чтобы решение (е) удовлетворяло условиям на поверхности, нужно положить откуда

Вставляя найденное выше значение в уравнение получаем для радиальных перемещений выражение:

Новые произвольные постоянные должны быть подобраны так, чтобы радиальные напряжения обращались в нуль на наружной и внутренней поверхностях, так как мы разыскиваем напряжения, возникающие в цилиндре, при отсутствии внешних сил.

Произведя соответствующие преобразования, мы в заключение приходим к таким выражениям для напряжений

В выражение для напряжений входит произвольная постоянная которая должна быть определена из условий на концах цилиндра. Если концы закреплены и не могут перемещаться при изменении температуры цилиндра, то должно обращаться в нуль. При свободных концах напряжения по концевым поперечным сечениям цилиндра должны равняться нулю. Из полученного выше решения легко видеть, что точно выполнить условия на свободных концах цилиндра мы не можем и остается поступить так, как это мы делали при рассмотрении изгиба и кручения призматических стержней. Мы подберем произвольную постоянную так, чтобы совокупность всех усилий, приложенных по концам, представляла систему взаимно уравновешивающихся сил, т. е. чтобы было выполнено условие Здесь интегрирование должно быть распространено на всю площадь поперечного сечения.

При найденном таким путем значении постоянной конечно, не будут в точности удовлетворены условия на концах, но на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что в некотором удалении от концов, найденные решения с достаточной точностью представляют распределение напряжений, соответствующих принятому распределению температуры.

При расчетах главное значение имеет величина наибольших напряжений. Оказывается, что при свободных донцах цилиндра эти наибольшие напряжения соответствуют напряжениям на наружной и внутренней поверхностях цилиндра и могут быть определены из таких простых формул:

Эти формулы могут быть еще упрощены, если толщину стенки цилиндра, равную считать малой по сравнению со средним радиусом стенки В таком случае, отбрасывая малые высших порядков, получаем для наибольших напряжений такие формулы: при

Толщина цилиндрической стенки, как видно, не оказывает большого влияния на величину наибольших напряжений, и мы можем считать эти напряжения пропорциональными разности внутренней и наружной температур. Но так как эта разность обыкновенно бывает тем большей, чем больше толщина стенки, то и тепловые напряжения в толстостенных трубках достигают больших значений, чем в трубках с тонкими стенками. В качестве примеров приводим следующие численные результаты.

Полагая для литого железа находим, пренебрегая влиянием толщины стенки, такую формулу для величины наибольших напряжений:

Если будем иметь снаружи растягивающие и внутри — сжимающие напряжения. Разности температур, равной 100°, соответствует напряжение

Возьмем теперь цилиндр из литой стали 2, для которой Положим см; см, следовательно,

Формулы дают в этом случае для наибольших растягивающих и наибольших сжимающих напряжений значения (предполагаем )

При разности температур, равной 50 эрад, наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения имеют соответственно значения

Заметим, что приближенные формулы могут быть применены также к определению напряжений, возникающих в фабричных дымовых трубах. Эти напряжения приходится суммировать с напряжениями, вызываемыми внешними силами, например давлением ветра. Поэтому во время работы дымовые трубы оказываются менее прочными в отношении сопротивления боковым внешним усилиям.