§ 32. Изгиб балки с заделанным концом силой, приложенной к свободному концу

Предположим, что балка, представленная на рис. 18, изгибается силою Размер балки в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка (ширина балки), может быть или очень большим, тогда будем иметь дело с плоской деформацией, или наоборот, весьма малым, когда напряжения можно заменить их средними значениями по ширине и привести таким образом определение напряжений к решению обобщенной плоской задачи. Как в первом, так и во втором случае ширина балки не будет играть никакой роли и мы в дальнейшем будем полагать эту ширину равной единице. В таком случае будет представлять изгибающую силу, отнесенную к единице ширины балки.

Для определения напряжений в рассматриваемом случае воспользуемся решением (d) предыдущего параграфа (см. рис. 17). Чтобы освободиться от

Рис. 17.

касательных напряжений по верхней и нижней граням балки, наложим на решение (d) напряжения соответствующие чистому сдвигу, и подберем значение коэффициента так, чтобы было удовлетворено условие

Нам нужчо теперь освободиться от нормальных напряжений на конце балки так как предполагается, что изгиб балки производится касательной силой Достигнуть этого мы можем, присоединяя к решению (d) чистый изгиб (см. рис. 15) и подбирая неопределенный пока коэффициент так, чтобы было выполнено условие

Окончательно на основании решения (d) и условий (а) и (b) получаем для нашей задачи такое распределение напряжений:

Легко видеть, что при этом верхняя и нижняя грани балки будут свободны от всяких усилий. На конце балки действуют лишь касательные напряжения, которые могут быть приведены к одной поперечной силе. Остается подобрать неопределенный пока коэффициент так, чтобы эта сила была равна заданной силе Суммируя касательные напряжения по концевому сечению балки, получаем

откуда

где обозначает момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной линии.

Вставляя найденное значение в решение (59), получаем

Здесь через обозначен статический момент относительно нейтральной линии части поперечного сечения, заштрихованной на рис. 18.

Рис. 18.

Полученное распределение напряжений совершенно совпадает с тем, которое дает элементарная теория изгиба. Следовательно, для балок, поперечное сечение которых представляет вытянутый прямоугольник, для распределения напряжений по высоте поперечного сечения балки можно принять линейный закон для нормальных напряжений и параболический закон для касательных напряжений.

Выяснив вопрос о распределении напряжений, перейдем к разысканию перемещений точек балки при изгибе. Мы видели, что перемещения будут

получаться различными в зависимости от того, имеем ли мы дело со случаем плоской деформации или с обобщенной плоской задачей. Предположим в дальнейшем этот последний случай и определим прогиб балки, имеющей весьма малую ширину. При этом условии напряжение равно нулю, и для составляющих деформации мы получим такие значения:

Путем интегрирования уравнений находим для перемещений такие общие выражения:

Здесь через обозначены неопределенные пока функции у и х. Вставляя найденные выражения для перемещений в уравнение (е), получаем:

Здесь постоянные величины, связанные условием

Функции представятся в таком виде:

где и произвольные постоянные величины. Для перемещений получим следующие формулы:

Произвольные постоянные в этих выражениях должны быть определены из условий закрепления балки.

Закрепим точку балки, соответствующую началу координат. Тогда произвольные постоянные равны нулю. Полагая у равным нулю, для прогибов оси балки находим выражение

Кривизна изогнутой оси будет

что совершенно совпадает с результатом элементарной теории изгиба, построенной на гипотезе плоских сечений. Последний член в выражении для прогиба (f) определяет влияние касательных напряжений на прогиб балки. Значение произвольной постоянной определится из третьего условия закрепления. Чтобы устранить возможность вращения балки как твердого тела относительно оси z, мы кроме точки должны закрепить еще какой-либо линейный элемент балки (§ 10).

Рассмотрим два случая: случай закрепления элемента балки, проходящего через начало координат и совпадающего с направлением оси и случай закрепления элемента, проходящего через начало координат и направленного по оси

В первом случае будем иметь условие

Произвольная постоянная равна нулю. Искривленное поперечное сечение, соответствующее закрепленному концу балки, займет положение, представленное на рис. 19, а, и прогиб балки на свободном конце представится формулой

Во втором случае третье условие закрепления будет

Рис. 19.

Рис. 20.

Расположение закрепленного конца балки после деформаций представлено на рис. 19, б. Для произвольной постоянной получим значение что соответствует сдвигу по нейтральному слою изгибаемой балки. Прогиб на свободном конце балки в этом случае будет

Этот результат совпадает с тем, что дает элементарная теория изгиба, если при вычислении прогибов принято во внимание влияние касательных напряжений и взято при этих подсчетах максимальное значение сдвига, соответствующее нейтральному слою изгибаемой балки.

На практике приходится иметь дело со способами закрепления, отличающимися от только что рассмотренных случаев, представленных на рис. 19.

Обыкновенно закрепляют несколько точек поперечного сечения, при этом, конечно, распределение напряжений и деформаций у закрепленного конца может значительно отличаться от того, что мы получили в рассмотренных выше случаях.

В частном случае, когда балка изгибается силой приложенной посередине пролета (рис. 20), сечение АВ вследствие симметрии остается плоским. Распределение напряжений отличается от того, что мы получили выше, так как к напряжениям изгиба у места приложения силы присоединяются местные напряжения от сосредоточенной силы. Вычисления показывают что в этом случае при малой высоте балки прогиб посередине пролета может быть вычислен по формуле