§ 23. Применение начала возможных перемещений к упругим телам

Начало возможных перемещений, которым так часто пользуются при исследовании условий равновесия систем, составленных из абсолютно твердых тел, может быть иногда с большим эффектом применено и к упругим телам. Рассмотрим условия равновесия одной материальной точки, принадлежащей какой-либо системе.

Пусть обозначает равнодействующую всех внешних приложенных к точке сил проекции этой равнодействующей на координатные оси.

Через обозначим равнодействующую всех внутренних сил, представляющих действие, оказываемое на рассматриваемую точку остальными частями данной системы, через проекции Начало возможных перемещений дает уравнение

имеющее место при всех возможных перемещениях Уравнения вида (а) могут быть получены для всех точек системы. Просуммировав, получим уравнение

Если мы имеем дело с абсолютно твердым телом, то расстояния между точками системы не изменяются и работа внутренних сил обращается в нуль. Следовательно, при всяком перемещении, возможном для твердого тела, будем иметь

Упругое тело может совершать перемещения, не претерпевая деформации, поэтому для него уравнение (с) остается в силе: внешние силы, приложенные к упругому телу должны удовлетворять уравнениям равновесия, соответствующим твердому телу. Но кроме перемещений, свойственных абсолютно твердому телу, упругое тело может совершать бесчисленное множество других перемещений, сопровождающихся изменением формы тела. Перемещения эти должны удовлетворять лишь условиям, установленным для перемещений в упругом теле (см. § 10, 11). Для таких перемещений второй член в уравнении (b) в нуль не обращается и начало возможных перемещений в применении к упругим телам получает такое выражение: форма, которую принимает упругое тело под действием внешних, приложенных к нему сил, характеризуется тем, что на всяком возможном для упругого тела отклонении от этой формы сумма работ всех внешних и внутренних сил равна нулю.

Представим теперь уравнение (b), выражающее начало возможных перемещений в применении к упругому телу, в ином виде, для чего воспользуемся прежними обозначениями. При составлении работы внешних сил будем различать силы, приложенные по поверхности тела, и объемные силы. Тогда работа внешних сил, соответствующая возможным перемещениям представится в виде

Здесь двойной интеграл, распространенный по поверхности тела, представляет работу поверхностных сил, тройной интеграл — работу объемных сил.

При составлении работы внутренних сил воспользуемся выражением для потенциальной энергии

Потенциальная энергия представляет собой отнесенную к единице объема работу внешних сил, затраченную на деформацию. Внутренние силы упругости при деформации все время уравновешивают внешние силы, поэтому соответствующая им работа, отнесенная к единице объема, будет равна по величине и противоположна по знаку

Если точкам упругого тела дадим возможные перемещения то составляющие деформации получат приращения

и потенциальная энергия V возрастет на величину

Следовательно, соответствующая принятым возможным перемещениям работа внутренних сил упругости, отнесенная к единице объема, будет

Работа всех внутренних сил упругости представится формулой

и уравнение (b) запишется так:

Если через обозначим работу всех внешних сил, совершенную при деформации тела, и примем во внимание, что на основании теоремы Клапейрона

то уравнение (47) примет вид

При составлении вариации нужно помнить, что внешние силы остаются постоянными и мы даем приращения только перемещениям

Следовательно, форма равновесия, которую получает тело под действием заданных сил, характеризуется тем, что функция перемещений представленная выражением приобретает значение максимума или минимума, так как первая вариация этой функции обращается в нуль для всех возможных перемещений В дальнейшем мы будем пользоваться этим обстоятельством и иногда будем интегрирование дифференциальных уравнений заменять разысканием максимума или минимума функции Таким путем можно находить приближенные решения при исследовании изгиба стержней и пластинок.

До сих пор мы выбирали возможные перемещения совершенно произвольно. Величины должны были удовлетворять лишь общим условиям, принятым для перемещений точек упругого тела. Подчиним теперь те отклонения, которые мы сообщаем упругому телу, находящемуся в равновесии под действием заданных сил, дополнительному условию, а именно будем брать лишь такие значения при которых внешние силы не совершают никакой

работы. Другими словами, будем сравнивать между собой лишь такие формы, для которых

Тогда уравнение (48) запишется так:

Следовательно, из всех форм, которым соответствует одна и та же работа заданных внешних сил, форма равновесия выделяется тем, что для нее удовлетворено условие (49) и, следовательно, потенциальная энергия получает максимальные или минимальные значения.

Начало возможных перемещений является самым общим началом статики, поэтому из соответствующего ему уравнения (47) могут быть получены и дифференциальные уравнения равновесия (14) и условия на поверхности (3), которые были ранее нами найдены из рассмотрения условий равновесия бесконечно малых элементов деформированного тела. Для этого нужно произвести лишь некоторые преобразования с членом

соответствующим работе внутренних сил упругости на принятых нами возможных перемещениях Составляя указанную вариацию и принимая во внимание зависимости (28) между напряжениями и деформациями, для работы внутренних сил (d) получим такое выражение:

Если принять во внимание, что

то выражение (е) можно преобразовать, выполняя интегрирование по частям следующим образом:

Обозначая через элемент поверхности тела и принимая во внимание, что преобразованное выражение (e) можно представить так:

Здесь двойное интегрирование распространено по поверхности и тройное — по объему тела. Подставляя полученное выражение для работы внутренних сил в уравнение (47) и собирая вместе все члены с множителем и соответственно и находим, что уравнение (47) при произвольных значениях будет удовлетворено лишь в том случае, если на поверхности тела выполнены условия

и в каждой точке внутри тела имеют место уравнения

Таким образом, из начала возможных перемещений можно получить ранее установленные дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности тела. Уравнение (47) может быть положено в основу всей теории упругости.

В предыдущих рассуждениях мы сравнивали действительную форму равновесия, которую упругое тело получает при действии заданных сил с другими близкими ей, геометрически возможными формами, получаемыми путем перемещений Действительная форма характеризуется тем, что для нее удовлетворено уравнение (47). Будем теперь сравнивать действительное распределение напряжений, возникающих в теле под действием заданных сил с другими, возможными с точки зрения статики, распределениями напряжений. Шесть составляющих напряжения связаны между собой тремя дифференциальными уравнениями равновесия (14) и если не принимать во внимание связи между напряжениями и деформациями, то можно найти сколько угодно различных распределений напряжений, удовлетворяющих условиям статики. Чем же выделяется из всех этих статически возможных распределений напряжений действительное напряженное состояние? Для решения этого вопроса воспользуемся началом возможных перемещений. Пусть составляющие напряжений, соответствующих действительному напряженному состоянию.

Рассмотрим другое распределение напряжений, для чего дадим действительным составляющим напряжения приращения и выберем соответствующие приращения внешних сил так, чтобы были удовлетворены уравнения равновесия

и условия на поверхности

Так как система напряжений и соответствующих им внешних сил удовлетворяет условиям статики, то работа этой системы внутренних и внешних сил на всяком возможном для упругого тела перемещении будет равна нулю. Возьмем в качестве возможных перемещений действительные перемещения которые совершают точки тела при действии заданных сил, и соответствующие им составляющие деформации Тогда начало возможных перемещений дает уравнение

Последний член в этом уравнении может быть представлен в ином виде, если воспользоваться выражением (37) для потенциальной энергии. Преобразуем выражение (f), подставив вместо составляющих деформации их выражения (36) через составляющие напряжения. Тогда получим

Приращение V, соответствующее приращениям составляющих напряжений, будет

На основании этого результата и зависимостей (36) можем переписать уравнение

В этом уравнении потенциальная энергия выражена через составляющие напряжения, и при составлении вариации даем этим составляющим приращения, удовлетворяющие уравнениям равновесия. При выводе уравнения (50) мы воспользовались началом возможных перемещений и выражением (37) для потенциальной энергии, поэтому полученный нами результат применим лишь к упругим телам, следующим закону Гука, в то время как начало возможных перемещений применимо к упругим телам с любой зависимостью между напряжениями и деформациями.

Если при сравнении различных напряженных состояний будем давать составляющим напряжений лишь такие приращения при которых правая часть уравнения (50) обращается в нуль, то получим

т. е. из всех удовлетворяющих указанному выше условию распределений напряжений действительное напряженное состояние выделяется тем, что для него потенциальная энергия приобретает максимальное или минимальное значение.

Заметим, что уравнение (51) по форме совершенно совпадает с уравнением (49). Но в уравнении (49) мы сравнивали значения потенциальной энергии для различных геометрически возможных форм равновесия, которым соответствует одно и то же значение работы внешних сил, а в уравнении (51) мы сравниваем различные возможные с точки зрения статики распределения напряжений, при которых правая часть уравнения (50) равна нулю. В первом случае потенциальная энергия выражена в виде функции составляющих деформации, во втором случае мы пользуемся выражением (37), т. е. представляем потенциальную энергию в виде функции составляющих напряжения.

Уравнение (51) является самым общим выражением для известного из курса сопротивления материалов начала наименьшей работы, которым мы обыкновенно пользуемся при разыскании лишних неизвестных в статически неопределимых системах. Чтобы применить начало наименьшей работы, мы должны прежде всего представить потенциальную энергию системы в виде функции лишних неизвестных и затем для этих неизвестных нужно подобрать такие значения, при которых составленное нами выражение для потенциальной энергии приобретает значение минимума, т. е. нужно удовлетворить уравнению (51). Выражение, соответствующее правой части уравнения (50), равно нулю, так как в случае применения начала наименьшей работы предполагается, что перемещения, соответствующие искомым лишним неизвестным, равны нулю.