§ 11. Случай, когда продольные силы неизвестны

Во всех предыдущих задачах мы предполагали, что величина продольной силы нам известна и, следовательно, определение аргумента и, входящего во все полученные выше расчетные формулы, не встречает никаких затруднений. Иногда приходится встречаться с более сложным случаем, когда продольная сила не

задана, а является результатом деформации балки. Возьмем, например, балку, концы которой закреплены таким образом, что при изгибе совершенно не сближаются. В таком случае изгиб будет сопровождаться появлением продольной растягивающей силы, удерживающей концы от смещения. Величину этой силы мы можем определить из того условия, что вызываемое ею удлинение оси балки, очевидно, равняется разности между длиной искривленной оси балки и величиной расстояния между опорными точками. Соответствующее уравнение особенно просто напишется для того предельного случая, когда ось балки можно принять за параболическую кривую (см. выражение (53)). Пользуясь известной формулой, представляющей разность между длиной дуги параболы и длиной хорды в зависимости от стрелки провисания получаем нужное нам уравнение в таком виде:

Вставляя вместо его значение, определяемое из (53), находим для такое кубическое уравнение:

Уравнением (54) можно воспользоваться для приближенного решения и в том случае, когда величина и невелика и, следовательно, кривая изгиба значительно отличается от параболы, так как длина кривой при малых стрелках будет мало зависеть от вида кривой.

Вставляя в уравнение (54) вместо величину прогиба балки при заданных поперечных нагрузках и неизвестной пока продольной силе, мы в каждом частном случае будем получать уравнение, из которого путем подбора находится соответствующая величина

Дадим теперь полное решение задачи для случая равномерной нагрузки, когда уравнение изогнутой оси представляется формулой (49). Этот случай имеет большой практический интерес главным образом в связи с расчетом пластинок.

При составлении разности между длиной дуги и длиной соответствующей хорды мы применим формулу, которой часто пользовались в элементарном курсе сопротивления материалов, и напишем уравнение (54) в таком виде:

В том частном случае, когда концы балки могут свободно поворачиваться выражение для прогиба, на основании (49), напишется так:

Вставляя это выражение в уравнение (55) и принимая во внимание равенства

получаем

Левая часть представляет собой разность между длиной дуги и длиной хорды 1.

Для дальнейших приложений нам удобнее представить уравнение (а) в несколько ином виде. Вместо подставим его значение и потом разделим обе части уравнения (а) на тогда получим

В правую часть этого уравнения входят лишь известные величины, и по заданным размерам балки и заданной нагрузке мы легко находим ее численное значение. После этого остается подобрать для и такое значение, при котором уравнение (56) было бы удовлетворено. Подыскивание решения может быть значительно упрощено, если иметь таблицу численных значений левой части нашего уравнения при различных значениях и. В дальнейшем мы для упрощения записи будем пользоваться обозначением

В табл. 2 помещены значения функции Пользуясь этой таблицей, мы без затруднения можем решить уравнение (56) в каждом частном случае.

Возъмем в качестве примера балочку прямоугольного поперечного сечения высотой и шириной, равной единице. Тогда уравнение (56) может быть переписано так:

Следовательно,

Положим , тогда Изданных табл. 2 заключаем, что Простое интерполирование дает нам

Когда величина и найдена, дальнейший расчет балочки не представляет труда. Наибольший прогиб мы найдем, если стрелку прогиба, соответствующую нерастянутой балке, умножим на соответствующее значение [см. формулу (50)]. При определенном выше

значееии и легко находим из таблицы, что Следовательно,

Для вычисления наибольшего изгибающего момента, определяем из таблицы соответствующее значение [см. формулу (51)]. Тогда найдем

В случае балки с абсолютно заделанными концами уравнение изогнутой оси напишется так [см. формулу (49)]:

Вставляя это в уравнение (55) и выполняя интегрирование, находим:

Вставляя вместо его значение, деля обе части на и вводя обозначение

получаем для данного случая уравнение

Для рассмотренного выше численного примера будем иметь

Из табл. 2 заключаем, что Простое интерполирование дает нам и Дальнейший расчет балки может быть выполнен без всяких затруднений.

Перейдем теперь к более общему случаю, когда концы балки упруго заделаны Вставляя соответствующее выражение для прогиба (49) в уравнение (55) и деля обе части уравнения на получаем после некоторых преобразований

Здесь для сокращения введено такое новое обозначение:

Значения функции приведены в табл. 2. Расчет балок в этом случае несколько сложнее, чем в приведенных выше примерах, так как в таблицах не дано значение левой части уравнения (58), которую в дальнейшем будем обозначать для краткости через При решении задач будем основываться на том соображении, что в случае упруго заделанных концов, очевидно, и

должно иметь промежуточное значение между теми величинами, которые мы получаем для опертых и для абсолютно заделанных концов.

Для рассмотренного выше численного примера можем заключить, что при упругой заделке концов имеет место неравенство: Предположим, что закрепление концов таково, что тогда при помощи таблицы находим

Имея значения левой части уравнения (58) для и для легко находим простым интерполированием, что в нашем случае, когда левой части равен 2,12, величина и равна 3,73.

При составлении основного уравнения (55) мы исходили из предположения, что концы изгибаемой балки совершенно не могут сближаться. Без особых затруднений полученные результаты могут быть распространены на тот случай, когда сближению концов препятствует какая-либо упругая связь, например распорка (рис. 15). При изгибе в балке появятся растягивающие усилия 5. Усилия эти будут сжимающими для распорки. Если обозначим через площадь сечения распорки и через соответствующий модуль упругости, то сжатие распорки будет равно

Рис. 15.

Разность между длиной дуги искривленной оси балки и длиной сжатой распорки, очевидно, равна удлинению оси балки, сложенному с сжатием распорки, и мы для определения продольной силы получим уравнение такого вида:

где

Величину К, которая в зависимости от жесткости распорки может изменяться в пределах между нулем и единицей, мы будем называть коэффициентом распора. Задачи, рассмотренные выше, представляют собой тот частный случай, когда коэффициент распора обращается в единицу, т. е. жесткость распорки бесконечно велика. Ход решения уравнения (59) ничем не отличается от того, который применялся выше, и мы здесь отметим только, что с уменьшением жесткости распорки уменьшается, конечно, и величина продольной силы Когда К обратится в нуль, обратится в нуль также и мы будем иметь изгиб балки только поперечными силами.