§ 37. Плоская задача в полярных координатах

При изучении распределения напряжений в пластинках, ограниченных прямоугольным контуром, мы пользовались системой прямоугольных координат. В целом ряде дальнейших задач при определении напряжений в пластинках, ограниченных круговым контуром, и в круговых кольцах прямоугольного поперечного сечения является более выгодным применение полярных координат. Рассмотрим, как напишутся уравнения равновесия плоской задачи и уравнение для определения функции напряжений в этих координатах. Положение какого-либо бесконечно малого элемента (рис. 27), выделенного из пластинки двумя плоскостями и проходящими через ось z, и двумя цилиндрическими поверхностями и нормальными к плоскости ху, определится углом и радиусом кругового цилиндра

Рис. 27.

Нормальные напряжения по граням элемента и обозначим через 00, те же напряжения по граням и через Для касательных напряжений, вызывающих искажение первоначально прямых углов элемента АВ CD, примем обозначение По граням элемента, параллельным плоскости ху, в случае плоской деформации могут действовать лишь нормальные напряжения Размер элемента в направлении оси z, равный толщине пластинки, в дальнейшем не будет играть никакой роли, и мы его будем принимать равным единице длины.

Составим уравнение равновесия элемента Считая объемные силы равными нулю и проектируя приложенные по поверхности элемента силы на направление и на перпендикуляр к нему, получим уравнения

Отбросив малые величины высших порядков и сократив все на общий множитель представим уравнения равновесия в таком виде:

Уравнения эти соответствуют уравнениям (53) и (57), полученным раньше для прямоугольной системы координат.

Распределение напряжений в случае плоской задачи вполне определяется функцией напряжений удовлетворяющей уравнению

и заданным условиям на контуре пластинки. При пользовании полярными координатами придется независимые переменные х и у заменить новыми

переменяыми и 0, связанными со старыми посредством уравнений В таком случае

Для вторых производных функции получим выражения

Отсюда получаем

Левая часть уравнения (а) преобразуется так:

Таким образом, решение плоской задачи в полярных координатах сводится к интегрированию дифференциального уравнения

Чтобы получить выражения для напряжений через функцию расположим оси х в у так, чтобы ось х совпала с направлением . В таком случае и на основании (b) будем иметь

Легко проверить дифференцированием, что полученные выражения для напряжений удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (61).

Выражения для деформаций получим на основании формул (36).

Обозначив через и относительные удлинения в направлении радиуса и перпендикуляра к нему, а через соответствующий сдвиг, будем иметь

В случае плоской деформации относительное удлинение равно нулю. При плоском напряженном состоянии напряжение обращается в нуль.

Обозначим через составляющие перемещения точки в направлении радиуса и перпендикуляра к нему. Перемещение в направлении оси z обозначим через Тогда удлинения выразятся такими же формулами, как в случае прямоугольной системы координат. Что касается удлинения то оно будет обусловлено не только перемещениями и, но также и перемещениями и. Если бы все точки, лежащие на круге радиуса совершили только радиальное перемещение и, одинаковое для всех точек, то относительное удлинение было бы равно Если бы те же точки совершали лишь перемещения у, то соответствующее этим перемещениям удлинение выразилось бы отношением

Рис. 28.

Окончательно выражение удлинений через перемещения представится так:

При составлении выражения для сдвига необходимо принять во внимание изменение угла обусловленное перемещением и.

На рис. 28 пунктиром представлен элемент после деформации. Сумма заштрихованных на рисунке углов дает величину сдвига Окончательно для сдвига будем иметь формулу