§ 61. О напряжениях в быстро вращающихся дисках

При элементарном решении этой задачи исходят из того предположения, что напряжения по толщине диска не меняются. Для получения точного решения необходимо предварительно составить дифференциальные уравнения равновесия и дифференциальные зависимости между составляющими напряжения в том предположении, что на каждую единицу объема

вращающегося диска действует в радиальном направлении объемная сила где масса единицы объема и угловая скорость вращения диска.

Из уравнений равновесия (102) нам придется изменить лишь первое уравнение, полученное как результат проектирования всех действующих на элемент сил на радиальное направление.

Приняв во внимание радиальную объемную силу, представим нужные нам уравнений равновесия в таком виде:

При составлении дифференциальных зависимостей придется исходить не из уравнений (40), которыми мы пользовались раньше (§ 57), а из общих уравнений (38). Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае и пользуясь преобразованиями § 57, получаем следующие дифференциальные зависимости:

Определение напряжений в быстро вращающемся диске сводится к разысканию решения уравнений (119), удовлетворяющего дифференциальным зависимостям (120) и условиям на поверхности диска. Если к диску не приложено никаких поверхностных сил, то, следовательно, напряжения на наружной поверхности должны обращаться в нуль.

Разыскание решения разобьем на две части. Сначала найдем какое-либо частное решение уравнений (119), удовлетворяющее зависимостям (120). Напряжения, соответствующие этому решению, не будут, вообще говоря, удовлетворять условиям на поверхности. Чтобы удовлетворить этим условиям, мы можем присоединить к найденному решению сколько угодно решений вида (112) или Результат такого наложения решений, очевидно, будет удовлетворять уравнениям (119) и (120), и при надлежащем выборе произвольных постоянных в решениях типа (112) и (113) могут быть выполнены и заданные условия на поверхности.

Частное решение уравнений (119) будем разыскивать следующим образом. Положим

В таком случае второе из уравнений (119) и третье уравнение системы (120) будут удовлетворены. Остальными четырьмя уравнениями воспользуемся для определения постоянных Вставляя решения (а) в уравнения (119) и (120), получаем

Этим уравнениям мы удовлетворим, положив

Частные решения (а) перепишутся так:

Полученными частными решениями можно воспользоваться при определении напряжений, возникающих при вращении около неподвижной оси тела любой формы. При определении напряжений в круглом диске мы к частным решениям (121) присоединим решения типа (112) и Соответствующая функция напряжений имеет форму полинома пятой степени. Положим Формулы (106) дадут нам для напряжений такие выражения:

Подбирая произвольные постоянные так, чтобы было удовлетворено уравнение получаем напряжения

Это решение наложим на решение (121) и подберем произвольную постоянную так, чтобы напряжения обращались в нуль. Для этого необходимо удовлетворить уравнению — из которого В результате сложения получим формулу для радиальных напряжений

Легко видеть, что полученное распределение радиальных напряжений приводит нас к решению задачи о напряжениях в быстро вращающемся диске при действии по контуру сжимающих усилий. Мы можем устранить эти усилия путем наложения на наше решение равномерного растяжения. Чтобы удовлетворить на контуре условию нужно положить равномерное растягивающее напряжение равным

Окончательно для напряжений получим формулы

В приближенном решении этой задачи отсутствуют члены, имеющие множителем выражение Для дисков, у которых толщина мала по сравнению с радиусом, эти добавочные члены не имеют никакого практического значения.