§ 12. Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба балок

Выражение для прогиба балки всегда можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда. Представление это, как мы увидим дальше, имеет особое преимущество при исследовании деформаций балок, подвергающихся

одновременному действию продольных и поперечных сил, и балок, имеющих некоторое первоначальное искривление. В этих случаях пользование тригонометрическими рядами приводит нас к нескольким простым формулам, весьма удобным для практических приложений.

Возьмем балку с опертыми концами (рис. 16). В этом случае при и при величины обращаются в нуль. Общее выражение для искривленной оси балки представится так:

Рис. 16.

Оно, очевидно, удовлетворяет поставленным выше условиям на концах и при надлежащем выборе коэффициентов может представить искривленную ось балки при любой нагрузке. Для определения коэффициентов мы воспользуемся началом возможных перемещений. Нужное нам при этом выражение для потенциальной энергии изгиба напишется так:

Найдем величины коэффициентов для случая изгиба балки сосредоточенной силой (см. рис. 16). Коэффициенты эти, определяющие форму кривой изгиба, являются координатами нашей системы. Если мы одной из этих координат, например дадим приращение то соответствующее приращение потенциальной энергии будет

Прогибы балки получат приращение

Работа внешних сил (силы в нашем случае) на этом перемещении будет равна Множитель при представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате и начало возможных перемещений дает нам такое уравнение:

откуда

Вставляя полученный результат в выражение (а) для изогнутой оси, получаем

Располагая, например, силу посередине пролета, находим для прогиба посередине такое выражение:

Ряд — быстро сходящийся, и если бы мы ограничились только первым членом, то получили бы величину для прогиба с погрешностью около 1,5%.

Если мы будем беспредельно уменьшать расстояние и при этом увеличивать так, чтобы величина оставалась конечной и равной то из выражения (62) получим уравнение изогнутой оси балки при действии пары сил на левом конце:

Пользуясь принципом сложения действия сил, мы из (62) можем получить выражение для прогиба при любой системе поперечных нагрузок. Чтобы получить, например, уравнение изогнутой оси при равномерной нагрузке интенсивности нужно только в (62) поставить вместо величину и потом произвести интегрирование по в пределах от нуля до Таким путем получаем

Без особых затруднений мы можем распространить наши выводы на тот случай, когда кроме поперечных нагрузок имеется еще продольная сжимающая или растягивающая сила Рассмотрим случай сжимающих сил, приложенных по концам. Сближение концов при изгибе, представленном выражением (а), будет

Если мы теперь, пользуясь началом возможных перемещений, дадим координате приращение то соответствующее перемещение для продольных сжимающих сил будет

и уравнение равновесия напишется так:

откуда

Здесь для сокращения письма введено обозначение где представляет собой отношение продольной сжимающей силы к величине эйлеровой нагрузки для балки с опертыми концами.

Определив таким образом значение коэффициентов, получаем выражение для прогиба при действии силы и продольных сжимающих сил в таком виде:

Отсюда, путем сложения действия сил, легко получить выражение для прогиба при любой поперечной нагрузке. Например, для равномерной нагрузки получаем

Прогиб посередине для этого случая представляется так:

Все предыдущие рассуждения относятся к случаю продольной ежимающей силы. Если вместо сжатия у нас будет растяжение, то нужные нам выражения для прогибов мы получим из предыдущих, если в них везде поставим вместо величину

Во всех случаях величина наибольшего прогиба будет представляться суммой бесконечного быстро сходящегося ряда. Этим обстоятельством мы воспользуемся и составим приближенные формулы для оценки влияния продольной силы на величину прогиба и на величину максимального изгибающего момента. Если обозначить прогиб посередине, вызываемый только поперечной нагрузкой, через а через прогиб при одновременном действии поперечных сил 1 и продольной сжимающей силы, то на основании результатов (66) и (67) можно с достаточной для практики точностью положить

Точность этой формулы зависит как от величины так и от распределения поперечной нагрузки. Наименьшую точность мы будем иметь в случае действия сосредоточенной силы. Если сосредоточенная сила приложена посередине пролета, то приближенную формулу (68) нужно сравнивать сточной формулой (28). При малых значениях точность приближенной формулы очень велика, напри мер при погрешность не превосходит 0,3%. С увеличением погреш ность возрастает, и с приближением к единице (чему соответствует критическое значение силы) отношение прогибов, вычисленных по точной и приближенной формулам, стремится к предельному значению и погрешность, следовательно, не превосходит 1,5%. При действии равномерной нагрузки погрешность в худшем случае не превосходит 0,5%. При изгибе балки сосредоточенной силой, приложенной не посередине, погрешность приближенной формулы возрастает с приближением нагрузки к одной из опор и в пределе, когда мы придем к изгибу балки парой сил, погрешность в прогибе в худшем случае не превзойдет 3%. На основании этого заключаем, что формула (68) всегда может быть применена для вычисления прогиба посередине, который можно принимать равным наибольшему прогибу. Вычислив по формуле (68) наибольший прогиб, мы легко найдем также и величину наибольшего изгибающего

момента. Для равномерной нагрузки эта величина найдется так:

Сравнение этого результата с точной формулой (37) показывает, что даже при больших значениях продольной силы приближенная формула дает весьма точные результаты.

В случае растягивающей продольной силы для вычисления наибольшего прогиба можем воспользоваться формулой

Точность этой формулы также убывает вместе с возрастанием Так, например, при равномерно распределенной нагрузке и погрешность составляет около 0,3%, при при около 1,7%. Если взять как предельное значение, с которым на практике приходится встречаться, величину (этому соответствует то погрешность приближенной формулы (69) достигнет 2,6%. Во всяком случае мы получим точность, вполне достаточную для практических приложений. Имея величину прогиба, мы можем составить формулу для изгибающего момента посередине пролета

Заметим, что здесь искомый момент получается как разность между изгибающим моментом от равномерной нагрузки и моментом от продольной силы. С убыванием этой разности точность приближенной формулы падает. При погрешность меньше 1%. При погрешность достигает 6%. Для больших мы можем пользоваться приближенной формулой которая получается из точной формулы (51), если в ней положить

Погрешность этой новой формулы при составляет 6%, при она уже меньше 1,5%, и дальше эта погрешность убывает с возрастанием

Установив приближенные формулы для балки с опертыми концами, перейдем к случаю абсолютно заделанных концов. Имея выражение для изогнутой оси балки при действии моментов, приложенных по концам, мы путем сложения действия сил могли бы получить величину прогиба балки с заделанными концами в форме тригонометрического ряда, но для получения приближенной формулы для прогиба мы можем воспользоваться иным приемом. Зададимся подходящей формулой кривой, удовлетворяющей условиям на концах, другими словами, обратим нашу систему (упругий стержень), имеющую бесконечное число степеней свободы, в систему с конечным числом степеней свободы и потом найдем прогиб, применяя начало возможных перемещений. Опыт показывает, что при этом самые грубые предположения относительно формы кривой дают вполне удовлетворительные результаты при определении прогиба. Возьмем, например, для балки с заделанными концами такое уравнение изогнутой оси:

Оно, очевидно, удовлетворяет условиям закрепления, так как обращаются в нуль на концах балки. Соответствующее значение потенциальной

энергии будет

Найдем величину а для случая равномерной нагрузки. При этом начало возможных перемещений дает нам уравнение

и мы будем иметь

Прогиб посередине балки будет Погрешность этой приближенной формулы около 1,5%.

Если кроме поперечной нагрузки имеется еще продольная сжимающая сила то при составлении уравнения нужно принять в расчет работу и этой силы. Сближение концов балки, соответствующее изгибу по кривой (b), будет

и уравнение равновесия напишется так:

откуда

Для получения соответствующей формулы при растягивающей силе нужно только изменить знак перед Таким образом, для случая изгиба с сжатием или изгиба с растяжением получаем такую приближенную формулуз

Из нее видно, что при заделанных концах влияние продольной силы значительно меньше, чем при свободно поворачивающихся концах. Что касается точности приближенной формулы (70), то при равномерной нагрузке она весьма велика для малых значений и убывает вместе с возрастанием При погрешность составляет около 0,5%, при погрешность уже 3,7% и, наконец, при погрешность достигает 8%. При столь больших значениях более точные значения для прогиба мы найдем по формуле которая получается из точной формулы (50) при и при большом значении и.