§ 26. Устойчивость равномерно сжатого стержня в упругой среде

Нам уже приходилось указывать (§ 6), что в некоторых задачах строительной механики случается иметь дело с изгибом стержней, встречающих при искривлениях боковые сопротивления, пропорциональные прогибам.

Рис. 56.

Во многих случаях сопротивления эти могут быть заменены реакциями непрерывной упругой среды. Рассмотрим здесь устойчивость таких стержней при сжатии их силами приложенными по концам. Предположим, что сжатый стержень опирается по концам на абсолютно жесткие опоры (рис. 56). Тогда выражение для изогнутой оси стержня в самом общем виде может быть представлено так:

Критическое значение сжимающей силы найдем на основании рассмотрения энергии системы. При искривлении стержня к энергии сжатия присоединяются энергия изгиба и энергия деформации упругой среды Энергия деформации появляется за счет той работы которую совершают сжимающие силы при сближении концов стержня. Значение найдем из условия

На основании уже известных формул переписываем это условие в таком виде:

Здесь через к обозначен коэффициент, характеризующий жесткость упругой среды. С увеличением к увеличивается и значение

Из уравнения (b) находим

Теперь остается из всех возможных форм искривления, определяемых выражением (а), найти ту, которой соответствует наименьшее значение вычисляемое по формуле (114). В данном случае вопрос этот решается весьма просто: выражение (114) получает наименьшее значение, когда все коэффициенты кроме одного, обращаются в нуль. Соответствующей формой искривления будет синусоида здесь единственный не обратившийся в нуль коэффициент в общем выражении (а) для изогнутой оси стержня. Формула (114) перепишется так

Остается теперь только выбрать надлежащим образом число которое указывает, на сколько полуволн подразделяется стержень при искривлении. При мы, очевидно, будем иметь явление продольного изгиба стержня со свободной боковой поверхностью и критическая нагрузка получится, если в формуле (115) положить Первая искривленная форма представит собой кривую без перегибов.

К такому же заключению мы придем, когда к отлично от нуля, но представляет собой малую величину. В этом случае упругая среда весьма податлива, первая искривленная форма не будет иметь точек перегиба и представит собой одну полуволну синусоиды.

Постепенно увеличивая жесткость среды, мы в заключение придем к таким значениям А, когда формула (115) будет давать для меньшие значения при а не при . В таком случае первая искривленная форма будет уже иметь две полуволны, а не одну. То значение к, при котором совершается переход от формы с одной полуволной к форме с двумя полуволнами найдется из (115), если мы примем во внимание, что для этого предельного состояния формула (115) даст одну и ту же величину независимо от того, вставим ли мы в нее или Таким образом, получаем

откуда

При значении несколько меньшем, чем то, которое находится из (с), мы будем иметь искривление по одной полуволне, при А, несколько большем, получается две полуволны.

Если мы будем продолжать увеличение жесткости упругой среды, то в дальнейшем придем к формам с тремя, с четырьмя и т. д. полуволнами. Чем жестче среда, тем на большее число полуволн стремится подразделиться при продольном изгибе стержень. В этом существенное отличие рассматриваемой задачи от случая стержня со свободной боковой поверхностью, выпучивающегося при продольном изгибе по кривой без перегибов.

То предельное значение при котором совершается переход от формы с полуволнами к форме с полуволнами найдется так же, как мы это выше сделали для из уравнения

откуда легко находим

Для значений несколько меньших того, что дает полученное уравнение, мы будем иметь первую искривленную форму с полуволнами, для несколько больших к получим полуволн. Таким образом, уравнение (116) может послужить для определения того числа полуволн, при котором формула (115) дает для наименьшее значение. Это значение и будет искомая критическая нагрузка.

Вводя обозначения а можем представить формулу для в таком виде:

Коэффициент называют коэффициентом длины, а величину приведенной длиной. Определив приведенную длину, мы тем самым сводим нашу задачу к простейшему случаю продольного изгиба стержня с опертыми концами и со свободной боковой поверхностью (108), для которого имеются подробные расчетные таблицы.

Значения коэффициента длины приводим в табл. 8.

В тех случаях, когда стержень вследствие большой длины или вследствие большой жесткости среды подразделяется при выпучивании на весьма большое число полуволн, мы можем заменить уравнение (116) таким:

Вставляя его в формулу (115), получаем

где

Таким образом, критическая сила в этом случае вдвое больше, чем для стержня со свободной боковой поверхностью и опертыми концами, имеющего длину равную длине одной полуволны стержня, выпучивающегося в упругой среде. Полученными результатами можно воспользоваться для приближенной оценки устойчивости спаянных трамвайных рельсов, заделанных в упругое основание. При повышении температуры в таких рельсах возникают весьма значительные продольные сжимающие усилия и при недостаточной жесткости заделки стержня в основание возможно явление продольного изгиба.

Таблица 8 (см. скан)

Таблица 9 (см. скан)

Мы все время предполагали непрерывную упругую среду, но полученные выше расчетные формулы можно применить для получения приближенного решения и в том случае, когда стержень опирается на ряд равноудаленных упругих опор одинаковой жесткости. Если жесткость оцор такова, что на каждую полуволну приходится не меньше трех опор, то получаемые таким путем приближенные решения обладают достаточной для практических приложений точностью. В противном случае придется для решения задачи воспользоваться приемами, изложенными в § 23.

На основании рассмотрения энергии деформации мы можем решить также вопрос об устойчивости равномерно сжатого стержня в упругой среде, когда нет опор и концы стержня совершенно свободны. Здесь также вид искривленных форм равновесия будет зависеть от жесткости упругой среды. Мы сохраним наши предыдущие обозначения и ограничимся лишь окончательными результатами, приведенными в табл. 9. Здесь даны значения коэффициента длины который должен быть вставлен в прежнюю формулу (117).

Сравнение чисел, приведенных в табл. 8 и 9, показывает, что стержень со свободными концами менее устойчив, чем стержень на двух жестких опорах. Разность между соответствующими коэффициентами длины будет тем меньшей, чем больше жесткость среды, что является вполне естественным, так как с увеличением жесткости среды увеличивается число полуволн, на которые стержень подразделяется при выпучивании, следовательно, убывает влияние способа закрепления концов. Такую же роль как увеличение жесткости среды играет увеличение длины стержня или уменьшение его жесткости при изгибе.