§ 3. Уравнения равновесия
Приняв указанные выше обозначения, мы можем записать шесть уравнений равновесия для упругого тела, находящегося в напряженном состоянии. Три уравнения статики, получающиеся путем проектирования всех приложенных к телу сил на координатные оси, напишутся так:
Первые члены в левых частях этих уравнений представляют собой проекции на координатные оси поверхностных сил. Вторые члены дают проекции объемных сил на те же оси.
Уравнения, представляющие условия равенства нулю моментов всех приложенных к телу сил относительно координатных осей, при принятом
расположении осей (см. рис. 1) представятся в таком виде:
Здесь двойные интегралы относятся к силам, распределенным по поверхности, тройные — к объемным силам. От уравнений равновесия (1) и (2) легко перейти к уравнениям движения, нужно только к объемным силам присоединить силы инерции движущихся элементов тела.
На основании уравнений (1) и (2) можно сделать важное заключение относительно условий равновесия тела, имеющего весьма малый объем.
Если уменьшать линейные размеры тела, то первые члены уравнений (1) и (2), соответствующие поверхностным силам, будут убывать как квадраты линейных размеров, а вторые члены — как кубы тех же размеров, т. е. значительно быстрее первых членов, и при достаточно малых размерах тела они сделаются настолько малыми, что ими можно будет пренебречь по сравнению с членами, соответствующими поверхностным силам. Уравнения (1) и (2) обратятся в таком случае в уравнения равновесия только между силами, распределенными по поверхности. Этим обстоятельством мы воспользуемся при общем исследовании напряженного состояния в какой-либо точке упругого тела.
