§ 35. Продольные колебания призматических стержней

Исследование колебаний стержней начнем с простейшей задачи — с продольных колебаний, при которых поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и параллельными друг другу, совершают перемещения по оси стержня. Те растяжения и сжатия, которые при этом испытывает стержень, будут, конечно, сопровождаться соответствующими изменениями поперечных размеров и потому лишь точки оси стержня будут совершать при этих колебаниях прямолинейное движение. Движение точек, не совпадающих с осью, будет более сложным, но, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной, можно

пренебречь перемещениями точек в плоскостях поперечных сечений. Общее для всех точек какого-либо поперечного сечения (рис. 74) перемещение в направлении оси х обозначим через и, тогда относительное удлинение в этом сечении и соответствующее растягивающее напряжение представятся так:

Для поперечного сечения бесконечно близкого к взятому выше, те же величины имеют значение

Рис. 74.

Следовательно, разность растягивающих напряжений для двух взятых сечений равна

Обозначая через у вес единицы объема стержня, получаем для выделенного из стержня элемента тптгпг такое дифференциальное уравнение движения:

Отсюда, вводя для краткости обозначение

получаем дифференциальное уравнение для продольных колебаний стержня в таком виде:

Мы видели, что самый общий вид колебаний может быть получен сложением главных (нормальных) колебаний, каждое из которых представляет собой простое гармоническое колебание. Возьмем одно из этих колебаний, и пусть соответствующие ему перемещения будут пропорциональны где частота взятого типа колебаний. Перемещение и зависит не только от времени, но и от положения сечения, т. е. от х, и для выбранного нами типа колебаний можно положить

где X — неизвестная нам пока функция х.

Вставляя выражение (а) в дифференциальное уравнение получаем для X такое уравнение:

откуда находим

Произвольные достоянные должны быть найдены из условий на концах стержня. Возьмем, например, стержень со свободными концами. В таком случае растягивающие напряжения по концевым поперечным сечениям должны обращаться в нуль, следовательно,

Первому из этих условий мы удовлетворим, положив в решении Для удовлетворения второго условия нужно положить

Это уравнение дает для бесконечное множество решений, которым будет соответствовать бесчисленное множество типов собственных колебаний стержня. Основной тип колебаний получим, взяв наименьший корень уравнения (d), от. положив

В этом случае из общего выражения (а) получаем

Таким же путем могут быть получены и высшие типы колебаний. Мы предполагали перемещения для каждого типа главных колебаний пропорциональными В самом общем случае к члену, пропорциональному косинусу, нужно присоединить член, пропорциональный ежнусу, и для основного типа колебаний получим

Составляя подобные же выражения для высших типов колебаний и складывая все эти колебания, приходим к такому общему выражению для продольных колебаний призматических стержней со свободными концами:

Легко показать, что при надлежащем выборе постоянных можно удовлетворить любым начальным условиям для колебаний стержня. В самом деле, чтобы эти условия были вполне определены, должны быть заданы перемещения всех поперечных сечений в начальный момент и их начальные скорости» Положим

Подставляя вместо и его выражение (151), получаем

Отсюда коэффициенты могут быть определены по известным формулам

В общем выражении (151) мы можем принять заключенные в скобки множители за нормальные координаты для нашей упругой системы. Обозначив их через будем иметь

Принимая площадь поперечного сечения стержня равной единице, получаем для потенциальной энергии системы такое выражение:

Живая сила системы напишется так:

Выражения для включают лишь члены с квадратами координат и квадратами соответствующих скоростей. Следовательно, эти координаты — главные, и соответствующие им дифференциальные уравнения (146), когда отсутствуют внешние силы, запишутся так:

откуда мы получаем для прежнее выражение.

Применение нормальных координат имеет значительные преимущества при исследовании вынужденных колебаний. Воспользуемся ими для решения задачи о вынужденных колебаниях стержня с одним заделанным и другим свободным концами. У заделанного конца стержня перемещения равны нулю, на свободном конце обращается в нуль относительное удлинение. Таким условиям будет удовлетворять каждая половина рассмотренного выше стержня со свободными концами при колебаниях, симметричных относительно середины. Этим мы воспользуемся, чтобы из выражения (151) сразу получить решение для нашего случая. Располагая начало координат в заделанном конце и обозначая через I длину стержня, мы должны будем в выражении (151) заменить на

Условие симметрии требует сохранения лишь членов с нечетными значениями и Следовательно,

Множители в скобках являются нормальными координатами. Обозначим их через Тогда

Уравнения (146) будут иметь такой вид:

Пользуясь решением (144), напишем общий интеграл полученного уравнения в таком виде:

Первые два члена полученного выражения представляют собой свободные колебания, обусловленные начальным значением координаты и соответствующей ей скорости. Эти колебания вследствие сопротивлений постепенно затухают, и приходится иметь дело лишь с третьим членом, который дает перемещение, вызванное обобщенной силой Ограничиваясь лишь этими перемещениями, получаем

Для получения колебаний, вызываемых внешними силами, остается подставить в полученную формулу соответствующее значение

В качестве примера возьмем случай раскачивания стержня силой приложенной к свободному концу. Чтобы найти дадим координате приращение Этому приращению будут соответствовать перемещения, определяемые формулой

При этом свободный конец стержня, к которому приложена сила переместился на величину

и сила произведет работу

Следовательно, в рассматриваемом случае

Подставляя значение в выражение (154) и полагая в нем, что для перемещения свободного конца стержня находим такое выражение:

В частном случае, когда приложенная на конце сила постоянна и равна получаем

Наибольшее перемещение получим при когда

Получаем, таким образом, известный результат: сила, внезапно приложенная к концу стержня, вызывает в нем удлинение, которое вдвое больше тех, что получаются при постепенном приложении силы.