§ 75. О деформациях симметрично нагруженной сферической оболочки

Задача о расчете тонких оболочек, имеющих сферическую срединную поверхность, встречается при решении ряда практически важных вопросов. С ней мы имеем дело при расчете сферических днищ котлов и различного рода резервуаров, при расчете непроницаемых переборок в паровых турбинах, при расчете

купольных сводов и т. д. Наиболее просто эта задача решается в двух крайних случаях: 1) когда оболочка под действием приходящихся на нее нагрузок деформируется так, что напряжениями от изгиба оболочки можно пренебречь по сравнению с напряжениями, соответствующими растяжениям срединной поверхности; 2) когда напряжениями от растяжения срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с напряжениями от изгиба.

Первый случай встречается при расчете сферических днищ тонкостенных резервуаров, подвергающихся действию равномерного внутреннего давления. Далее мы увидим, что в частях этих днищ, удаленных от опорного контура, напряжения изгиба невелики, и мы ими можем пренебрегать по сравнению с напряжениями, соответствующими растяжению срединной поверхности. У опорного контура вследствие закреплений могут получиться весьма значительные напряжения изгиба, имеющие характер местных напряжений, и для их определения необходимы дополнительные исследования. Но если опорные закрепления сферической оболочки допускают свободные радиальные перемещения точек контура и свободные поворачивания краев оболочки (подвижно опертый край оболочки), то напряжения изгиба везде остаются малыми и мы можем получить вполне удовлетворительное приближенное решение, рассматривая лишь деформации растяжения срединной поверхности.

Рис. 141.

Со вторым крайним случаем, когда преобладающую роль играют напряжения изгиба, мы встречаемся при исследовании колебаний незамкнутой тонкой сферической оболочки. Подобные деформации, не сопровождающиеся растяжениями срединной поверхности, должны играть существенную роль в вопросе об устойчивости сферической оболочки, подвергающейся действию равномерного наружного давления.

Для полного решения вопроса о напряжениях и деформациях в симметрично загруженной сферической оболочке составим соответствующие дифференциальные уравнения равновесия.

На рис. 141, а представлено меридиональное сечение сферической оболочки, на которую действует нагрузка, симметрично распределенная относительно оси Вырежем из оболочки бесконечно малый элемент двумя меридиональными сечениями, наклоненными под углом друг к другу, и двумя коническими поверхностями с углами Из условий симметрии следует, что по граням выделенного элемента, соответствующим меридиональным сечениям, будут действовать лишь нормальные напряжения, которые мы можем привести к растягивающим силам интенсивности и изгибающим моментам интенсивности

По двум другим граням выделенного элемента кроме нормальных напряжений, приводящихся к силам и парам сил будем иметь также и перерезывающие силы Интенсивность внешних давлений, приложенных к оболочке, разложим на две составляющие. Составляющую направим к центру шаровой поверхности и составляющую направим по касательной к меридиану в сторону возрастания угла Эти направления примем за оси и соответствующие перемещения при деформации оболочки обозначим через

При наших обозначениях дуги срединной поверхности, соответствующие выделенному элементу, имеют длины

Проектируя все приложенные к элементу силы на направления осей и составляя момент этих сил относительно третьей оси, приходим к таким дифференциальным уравнениям равновесия:

Отсюда после сокращений получаем систему уравнений

Входящие в эти уравнения усилия и моменты могут быть выражены через перемещения Начнем с определения растяжений срединной поверхности. Растяжение вдоль касательной к меридиану будет зависеть как от радиального перемещения так и от перемещения и и представится такой формулой:

Растяжение соответствует удлинению дуги параллельного круга. Приняв во внимание, что радиус этого круга, равный получает благодаря перемещениям приращение и получим

Найдем теперь выражения для изменения кривизны сферической оболочки при деформации. Чтобы найти изменение кривизны меридионального сечения, воспользуемся формулой (89), которую мы получили при рассмотрении изгиба кругового кольца. При взятых обозначениях искомое изменение кривизны представится так:

и мы на основании (251) и (281) будем иметь

Рассмотрим теперь изменение кривизны, соответствующей нормальному сечению, перпендикулярному к плоскости меридиана. Какой-либо элемент меридиана (рис. 142) при деформации оболочки займет положение При этом новый радиус кривизны будет меньше а, и это уменьшение, как легко видеть из рисунка, равно

Рис. 142.

Соответствующее изменение кривизны представится так:

и мы, на основании (251) и (282), будем иметь

Теперь усилия и моменты легко выражаются через перемещения при помощи известных формул (253) и (254):

Подставив (а) в уравнения (280), мы придем к трем уравнениям, заключающим три неизвестные функции Если эти функции будут найдены, то сейчас же найдутся выражения для напряжений изгиба и напряжений, соответствующих растяжению срединной поверхности.