§ 4. Исследование напряженного состояния в какой-либо точке тела

Через любую точку О тела, находящегося в напряженном состоянии, можно провести бесчисленное множество различно направленных площадок. Каждой такой площадке соответствует свое напряжение, определенное по величине и на правлению. Наша дальнейшая задача заключается в том, чтобы выразить напряжение по любой площадке через несколько определенных величин, вполне характеризующих напряженное состояние в данной точке. Покажем, что напряжение на любой площадке, проходящей через может быть найдено, если известны напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через ту же точку. Примем эти площадки за координатные плоскости. Пусть направление нормали к той площадке, для которой нужно найти напряжение. Проводим плоскость (рис. 2), перпендикулярную к так, чтобы она с координатными плоскостями вырезала из тела бесконечно малый тетраэдр и рассмотрим условия равновесия этого тетраэдра. Принимая во внимание малый объем выделенного элемента, при составлении уравнений можно ограничиться лишь поверхностными силами и допустить, что эти силы по каждой из граней тетраэдра распределены равномерно. (Напряжения считаем непрерывными функциями координат х, у, z). Положительные направления напряжений по каждой из граней, соответствующие ранее принятым обозначениям,

Рис. 2.

указаны на рисунке стрелками. Если через обозначим площадь грани то площади граней, перпендикулярных к осям х, у и z, соответственно будут

Проектируя все поверхностные силы, приложенные к элементу на направление оси получим уравнение равновесия

Подобным образом получатся и два других уравнения. Сокращая все на представим уравнения равновесия в такой форме:

Эти уравнения дают возможность вычислить проекции напряжения по площадке если известны напряжения по площадкам, совпадающим с координатными плоскостями, и, так как площадка может быть проведена как угодно близко от точки О, то полученные из уравнений (3) проекции определяют искомое напряжение по площадке с нормалью проходящей через точку О. Таким образом, напряжение по любой площадке, проходящей через заданную точку тела, может быть выражено посредством девяти величин:

Рис. 3.

Пользуясь уравнениями статики, легко установить между этими величинами три зависимости, которые позволят в дальнейшем определять напряженное состояние в любой точке тела при помощи шести элементов — составляющих напряжения.

Вырежем для этого из тела у заданной точки О бесконечно малый прямоугольный параллелепипед (рис. 3) и напишем соответствующие уравнения равновесия, причем будем отбрасывать малые высших порядков. В таком случае нам придется принять в расчет лишь поверхностные силы и допустить, что напряжения для каждой пары параллельных граней выделенного элемента равны и прямо противоположны. Из шести уравнений равновесия запишем лишь три уравнения, представляющие условия равенства нулю моментов относительно координатных осей. На чертеже стрелками указаны напряжения, которые должны быть приняты в расчет при составлении момента всех поверхностных сил относительно оси х. Соответствующее уравнение будет иметь вид

Подобные уравнения получим и для двух других координатных осей. На основании этих уравнений заключаем:

т. е. составляющие касательных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны между собой. Следовательно, напряженное состояние в любой точке тела определяется тремя нормальными составляющими и тремя различными касательными составляющими

Уравнения (4) можно обобщить следующим образом. Возьмем две как угодно наклоненные друг к другу площадки, одну из них направим перпендикулярно к оси х, нормаль к другой обозначим через Пусть представляют полные напряжения по первой и по

второй площадке. Тогда первое из уравнений (3), на основании уравнений (4), может быть представлено в таком виде:

Следовательно, если мы имеем две пересекающиеся площадки, то проекция напряжения по первой площадке на нормаль ко второй равна проекции напряжения по второй площадке на нормаль к первой. Легко видеть, что уравнения (4) представляют лишь частный случай этого общего заключения.

Уравнения (3), полученные для точки О, лежащей внутри тела, остаются в силе и тогда, когда грань элементарного тетраэдра совпадет с наружной поверхностью тела. В таком случае величины характеризуют интенсивность сплошной нагрузки, распределенной по поверхности тела. Мы положили ранее, что составляющие напряжения представляются непрерывными функциями координат. Это налагает соответствующие ограничения и на поверхностные силы 1. Величины характеризующие их интенсивность, должны представляться непрерывными функциями координат. Разрыв непрерывности может иметь место лишь по линиям, где нарушается непрерывность изменения косинусов углов, составляемых внешней нормалью к поверхности тела с координатными осями.