§ 43. Колебания балки под действием подвижного груза

Вопрос о колебаниях балки под действием движущегося по ней груза, несмотря на всю его практическую важность, до сих пор не имеет полного решения, и мы в настоящее время умеем вычислять динамические напряжения, вызываемые подвижным грузом, лишь в двух крайних случаях, когда вес движущегося груза можно считать или очень малым, или очень большим по сравнению с весом балки.

В первом случае для определения колебаний балки можно воспользоваться решением (185), полученным для случая движения по балке постоянной силы.

Когда мы от движущейся силы переходим к движущемуся грузу, задача сразу усложняется. Движущийся груз совершает вследствие изгиба балки некоторые перемещения в направлении, перпендикулярном к оси балки, поэтому давление груза на балку не будет равно весу груза. К этому весу необходимо присоединить еще силы инерции груза, зависящие от вертикальных его перемещений. Для приближенного решения задачи поступим так. Сначала примем давление на балку постоянным, равным весу движущегося груза и при помощи решения (185) найдем выражение для вертикальных перемещений груза. По этим перемещениям составляем выражение для сил инерции груза и присоединяем эти силы к силе веса.

Таким образом получаем некоторую переменную силу, движущуюся по балке. Вызываемые этой силой колебания могут быть исследованы общим приемом (§ 40), и мы получим, таким образом, поправку к решению (185) на силы инерции движущегося груза. Если вес груза мал по сравнению с весом балки, найденная поправка будет малой величиной и полученное нами приближенное решение будет обладать достаточной точностью.

В другом крайнем случае, когда вес груза велик по сравнению с весом балки, мы для получения приближенного решения можем пренебречь весом балки. В таком случае прогиб балки под грузом будет пропорционален давлению груза на балку и представится известной формулой

Здесь расстояние груза от опор балки.

Для получения давления нужно к весу груза присоединить силы инерции

Обозначая скорость движения груза по балке через и принимая во внимание, что

получаем для давления груза на балку выражение

Подставив это выражение в (а), придем к такому дифференциальному уравнению для определения траектории точки касания движущегося груза с балкой

Для получения приближенного решения этого уравнения подставим в правую часть его вместо у выражение

которое представляет собой траекторию точки касания груза при бесконечно малой скорости движения. Наибольшее значение для у получится в таком случае при прохоякдении груза через середину пролета балки. В этот момент

где

Для наибольшего динамического прогиба получаем, таким образом, выражение

Такое же соотношение получится между наибольшими динамическим и статическим изгибающими моментами.

На практике дробь -у представляет собой обыкновенно малую величину и полученное приближенное решение (с) близко к результату, получаемому из точного решения уравнения

Полное решение уравнения (b) сначала в виде рядов и потом в замкнутой форме получено Стоксом, который затратил много труда на разработку вопроса о действии подвижной нагрузки на мосты

Заметим, что для построения траектории точки касания груза с балкой выгодно применить вычислительный способ интегрирования уравнения Для этого мы разбиваем балку на большое число равных промежутков и последовательно для каждого деления вычисляем Для начального деления предполагаются известными. Подставляя в (b), находим начальное значение По начальным значениям мы можем, например, способом К. Рунге вычислить для следующего деления и получить при помощи для того же деления. Имея величины возможно тем же путем перейти к

Такйм способом может быть решена задача о динамическом действии подвижного груза на балку при любом способе закрепления концов балки, а также в случае многопролетных балок и балок, лежащих на упругих опорах. Предварительно из статического расчета устанавливаем связь между давлением и прогибом в точке приложения давления. Пусть эта зависимость представится так: тогда уравнение, соответствующее уравнению (b), напишется таким образом:

Это уравнение в каждом частном случае может быть проинтегрировано указанным выше вычислительным способом.