§ 72. О деформациях цилиндрической трубки с опертыми краями

Пользуясь дифференциальными уравнениями (268) предыдущего параграфа, мы можем решить вопрос о деформациях, возникающих в цилиндрической трубке с опертыми краями в случае действия на боковую поверхность трубки распределенных нормальных давлений интенсивности Подставив в эти уравнения вместо и моментов их выражения через перемещения, что можно сделать при помощи формул предыдущего параграфа, мы придем к трем таким уравнениям:

Обозначим через длину трубки и поместим начало координат у одного из концов, тогда условиям на опертых краях цилиндрической оболочки мы удовлетворим, если возьмем для перемещений такие выражения:

Легко видеть, что при этом по концам трубки при обращаются в нуль значения

Подставляя выражения для перемещений (b) в уравнения (а), мы получаем возможность найти коэффициенты и если полученные таким путем ряды будут сходящимися, то они представят собой искомые перемещения точек цилиндрической оболочки.

Когда вместо цельной цилиндрической трубки мы будем иметь лишь часть ее, ограниченную двумя образующими и двумя параллельными кругами, то в случае опертых краев можно для перемещений взять выражения

где через а обозначен центральный угол, соответствующий выделенной части цилиндрической трубки, причем для прямолинейных краев оболочки принято

При таком выборе выражений для перемещений мы найдем, что по контуру оболочки радиальные перемещения и изгибающие моменты обращаются в нуль.

Подставляя выражения для перемещений (с) в уравнения (а) и представляя интенсивность распределенных по цилиндрической оболочке давлений двойным тригонометрическим рядом

мы придем к таким уравнениям для определения коэффициентов

Подставляя сюда вместо значения, соответствующие заданной нагрузке, мы получаем возможность определить коэффициенты В качестве примера приводим некоторые результаты, относящиеся к изгибу равномерной нагрузкой цилиндрической оболочки с малым углом а и длиной I, равной

В этом случае

Подставив соответствующее значение в уравнения (е), мы найдем, что при малых величинах угла а коэффициенты будут зависеть от отношения где стрелка дуги радиуса а, соответствующая углу а. Величина максимального прогиба представится формулой

Приводим несколько значений коэффициента

Таким образом, мы видим, как быстро возрастает жесткость пластинки с увеличением начальной стрелки Подобным же образом можно убедиться, что с увеличением начального искривления пластинки быстро убывают значения напряжений, соответствующих изгибающим моментам Заметим, что при вычислении изгибающих моментов приходится для обеспечения надлежащей точности брать большое число членов в рядах, представляющих перемещения и, что в большей степени усложняет вычислительную работу, в особенности с увеличением стрелки