§ 53. Круговое и эллиптическое поперечные сечения

Пусть контур поперечного сечения изгибаемого стержня задан уравнением Чтобы правая часть условия на поверхности (97) обратилась в нуль, положим Тогда задача об определении касательных напряжений при изгибе сводится к интегрированию уравнения

Причем на контуре значение постоянно, и мы его можем положить равным нулю.

Значение функции напряжений в каждой точке поперечного сечения совпадает со значением провисания равномерно натянутой мембраны, закрепленной на круговом контуре и нагруженной сплошной нагрузкой, изменяющеися по закону плоскости

Для определения этого провисания можно воспользоваться приближенным способом Ритца [формула (f) § 50] и положить

При данном распределении сплошной нагрузки, очевидно, провисание мембраны с круговым контуром должно быть четной функцией относительно х и нечетной относительно Легко убедиться, что ограничиваясь одним членом общего выражения (b) и полагая

мы при надлежащем выборе коэффициента удовлетворим уравнению Вставляя выражение (с) в уравнение (а), находим Функция напряжений окончательно представится в таком виде:

Дифференцированием получаем соответствующее распределение касательных напряжений:

Рассмотрим распределение касательных напряжений по горизонтальному диаметру поперечного сечения. Для этих точек при по формулам (98) находим

Распределение напряжений зависит, как мы видим, от величины пуассонова отношения. Наибольшее напряжение получается в центре сечения при где . У концов того же диаметра напряжения будут

Элементарная теория изгиба дает для касательных напряжений во всех точках горизонтального диаметра одну и ту же величину где площадь поперечного сечения.

Для сравнения с точным решением произведем вычисления, приняв В таком случае

Следовательно, погрешность при определении максимума касаггельных напряжений элементарным способом составляет меньше 4%. Таким же способом

легко решается задача о распределении напряжений при изгибе в случае эллиптического поперечного сечения. Пусть уравнение контура поперечного сечения. Чтобы обратить в нуль правую часть уравнения (97), положим

Задача сводится, таким образом, к интегрированию уравнения

При этом на контуре значение постоянно. Как и в случае круга, мы сразу можем получить решение задачи, полагая Подстановкой в уравнение (96) находим

Окончательно для функции напряжений получаем выражение

При результат этот совпадает с тем, что было найдено выше для кругового поперечного сечения.

Получив функцию напряжений, мы без затруднения можем составить формулы для касательных напряжений и вычислить эти напряжения для любой точки сечения.

Имея распределение касательных напряжений для круглого стержня, легко перейти к стержню, поперечное сечение которого имеет форму полукруга. В самом деле, из общего решения (98) следует, что в точках вертикального диаметра кругового поперечного сечения напряжения равны нулю, следовательно, по плоскости xz, разделяющей круглый стержень пополам, никаких напряжений нет, каждая половина стержня работает самостоятельно. Касательные усилия, приходящиеся на одну половину сечения, приведутся к вертикальной силе и к скручивающей паре сил. Напряжения, соответствующие этой паре, мы можем исключить при помощи известного решения для кручения стержня полукруглого сечения и таким путем получим распределение касательных напряжений при изгибе стержня полукруглого сечения.