§ 50. Применение метода Ритца к определению напряжений при кручении

Вопрос о кручении призматических стержней сводится к интегрированию дифференциального уравнения

Иногда выгодно разыскание решения этого уравнения заменить разыска» нием минимума некоторого интеграла. Эту замену легко произвести при помощи общего уравнения (50). Предположим, что напряжения представлены при помощи функции тогда потенциальная энергия скрученного стержня, отнесенная к единице длины, будет

Если мы во всех точках поперечного сечения, кроме точек контура, дадим совершенно произвольные малые приращения то этому будут соответствовать приращения напряжений

Такие же приращения получат напряжения, распределенные по концевым поперечным сечениям стержня, являющиеся внешними скручивающими силами.

Предположим, что сечение стержня, соответствующее началу координат, закреплено, и обозначим через I длину стержня. Тогда перемещения для какой-либо точки свободного конца стержня представятся в виде и уравнение (50) можно будет написать так:

Выполняя в правой части интегрирование по частям и принимая во внимание, что на контуре перепишем уравнение (b) в таком виде:

или

Так как приращение полученного нами интеграла для всякого малого изменения функции должно равняться нулю, то, следовательно, разыскание функции удовлетворяющей уравнению (а), равносильно разысканию максимума или минимума интеграла:

К такому же результату мы придем, исходя из аналогии Прандтля. Определение функции приводится, как мы видели, к разысканию провисания мембраны, равномерно нагруженной и удерживаемой на контуре равномерно распределенными растягивающими усилиями. При определении формы равновесия мембраны воспользуемся началом возможных перемещений. Искомая форма равновесия характеризуется тем, что на всяком возможном отклонении от этой формы работа всех приложенных к мембране сил равна нулю. Если считать мембрану нерастяжимой, то при провисании ее необходимо допустить некоторое смещение краев. При таком смещении растягивающие мембрану усилия совершат отрицательную работу, величину которой получим, умножая усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, на разность между площадью мембраны до провисания и проекцией мембраны на плоскость контура после провисания. При малых провисаниях величина этой работы представится так:

При всяком отклонении мембраны от положения равновесия изменение найденной сейчас работы растягивающих сил должно быть равно по величине и противоположно по знаку приращению работы сплошной нагрузки, лежащей на мембране. Следовательно,

Это уравнение справедливо при всяком распределении нагрузки Положив мы приведем задачу о разыскании провисания мембраны к нахождению максимума или минимума интеграла (89).

В тех случаях, когда удается найти функцию удовлетворяющую этому условию, мы получаем точное решение соответствующей задачи о кручении. Если же получение точного решения сопряжено с большими трудностями или такого решения получить не удается, мы можем при помощи (89)

получить приближенное решение задачи, заменяя задачу вариационного исчисления о разыскании максимума или минимума интеграла задачей об определении максимума или минимума некоторой функции Для этого мы берем приближенное выражение функции напряжений в виде ряда

При этом функции выбираем так, чтобы каждая из них удовлетворяла заданным для условиям на контуре (в нашем случае каждая из них на контуре обращается в нуль) и чтобы выражение (d) при надлежащем выборе коэффициентов по возможности ближе подходило к точному выражению

В каждом частном случае такие функции можно подобрать, потому что приблизительный вид или, что все равно, вид той поверхности, по которой провисает равномерно нагруженная мембрана, нам известен. Для определения коэффициентов мы ставим выражение вместо под знак интеграла (89) и находим соответствующее значение интеграла. Обозначим его через Далее подбираем коэффициенты так, чтобы имело максимальное или минимальное значение, т. е. чтобы были удовлетворены условия

Эти уравнения — линейные относительно коэффициентов . Решая их, мы находим для этих коэффициенов значения, при которых функция дает наилучшее приближение к точному решению задачи.

Особенно просто разыскание функций в тех случаях, когда контур поперечного сечения задан уравнением внутри контура в нуль не обращается. Тогда выражение (d) может быть взято в таком виде:

Очевидно, каждый член этой суммы удовлетворяет условию на контуре. Остается лишь определить коэффициенты при помощи уравнений (90).

Этим приемом легко решаются задачи, рассмотренные Сен-Венаном, а также задачи о кручении стержней, поперечное сечение которых представляет собой или сектор или четырехугольник, ограниченный двумя радиусами или двумя концентрическими кругами. Ниже мы применим этот метод к случаю прямоугольного поперечного сечения.