§ 15. Общее выражение для энергии деформации

Упругое тело обладает свойством накапливать энергию в обратимой форме. Если внешним силам, действующим на упругое тело, дать бесконечно малые приращения, то это вызовет соответствующие малые изменения деформации. Работа, которую при этом действующие на тело силы совершат, будет равняться соответствующему приращению потенциальной энергии деформированного тела. Если теперь устранить сообщенные силам приращения, то тело примет свою первоначальную форму и при этом произведет работу, равную той, которая была затрачена на изменение деформации тела. Составим выражения для работы внешних сил при изменении деформации тела. Для упрощения рассуждений ограничимся рассмотрением элементарного прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и ребра соответственно равны

Если такой элемент мысленно выделить из деформированного тела, то напряжения, соответствующие граням элемента, явятся для элемента внешними силами. Предположим, что все составляющие напряжения, кроме обращаются в нуль, тогда на выделенный элемент будут действовать силы лишь по граням, перпендикулярным оси х. Силы эти будут нормальны к этим граням и равны Сообщим силам бесконечно малые приращения Это вызовет изменения деформации выделенного элемента. Пусть представляет соответствующее изменение относительного удлинения в направлении оси х. Тогда работа сил, приложенных к элементу и соответствующая такому изменению деформации, будет заключаться между значениями Пренебрегая малыми высшего порядка, полагаем, что работа внешних сил в этом случае равна

Если бы по граням элемента действовали лишь силы, соответствующие касательным напряжениям то рассуждая подобно предыдущему, мы бы нашли, что работа, соответствующая приращению напряжения может быть представлена с точностью до малых высшего порядка формулой

В общем случае, когда все составляющие напряжения отличны от нуля, работа приложенных к элементу сил, соответствующая бесконечно малым приращениям представится формулой

Если через обозначим отнесенную к единице объема внутреннюю энергию деформированного элемента и через 8 и изменение этой энергии, соответствующее приращениям то будем иметь

С другой стороны, внутренняя энергия в теле определяется его деформацией; является функцией составляющих деформации Следовательно,

Сравнивая (а) и (b) заключаем, что

и так как на основании обобщенного закона Гука (25) составляющие напряжения являются однородными линейными функциями составляющих деформации, то потенциальная энергия V представится однородной функцией второй степени от В самом общем случае такая функция заключает 21 член (шесть членов вида и пятнадцать — вида и представляется на основании (25) в таком виде:

Таким образом, то обстоятельство, что составляющие напряжения являются частными производными от энергии деформации V по соответствующим составляющим деформации, дает возможность установить между коэффициентами в общих выражениях (25) пятнадцать зависимостей вида и сокращает число упругих постоянных в общем случае до 21.

В предыдущих рассуждениях мы совершенно не упоминали о тепловых явлениях, которыми сопровождается деформация тела. При изменении деформации изменяется температура отдельных элементов тела и в результате происходит или выделение, или поглощение тепла. Если через обозначим механический эквивалент подводимого тепла, отнесенный к единице объема элемента тела, деформацию которого мы слегка изменяем, то закон сохранения энергии приведет нас к такому уравнению:

Это уравнение совпадает с уравнением (а), которым мы пользовались в предыдущих рассуждениях, лишь в том случае, когда т. е. когда процесс происходит адиабатически. Примерно в таких условиях протекает процесс, когда деформации происходят с большой быстротой, например при вибрации упругого тела. В этом случае наши предыдущие рассуждения вполне точны и составляющие напряжения действительно являются частными производными функции 7, представляющей энергию деформации.

Составляющие напряжения могут быть получены как частные производные функции составляющих деформации в другом крайнем случае, когда деформации происходят весьма медленно. При этом условии можно считать, что температура деформированного тела остается все время постоянной, равной температуре окружающей среды, процесс происходит изотермически. В этом случае последний член в уравнении (а) не будет равен нулю, но если при деформации тело совершит полный цикл, то можно утверждать, что сумма всех соответствующих этому круговому процессу, будет равна нулю. Точно так же сумма всех элементов стоящих в левой части уравнения (а), равна нулю, поскольку тело вернулось в свое первоначальное состояние, следовательно, запас его внутренней энергии остался без изменения. Но если сумма всех равна нулю, то из (а) заключаем, что и сумма элементов вида

также должна обращаться в нуль при всяком круговом процессе.

Следовательно, выражение (с) должно представлять собой полный дифференциал и составляющие напряжения могут быть получены как частные производные функции, представляющей энергию деформации при изотермическом процессе. Заметим, что при адиабатическом и изотермическом процессах функции, из которых дифференцированием получаются составляющие напряжений, будут различны, а потому будут различны и упругие постоянные, при помощи которых устанавливается связь между напряжениями и деформациями. Для таких материалов, как железо и сталь, разница между упругими постоянными при адиабатическом и изотермическом процессах столь невелика, что в технических вопросах ею всегда молено пренебречь.