§ 40. Вынужденные поперечные колебания стержней

Имея выражения (173) и (174) для потенциальной энергии и живой силы стержня, можно составить дифференциальные уравнения движения (146) и исследовать вынужденные колебания при любых раскачивающих силах. В качестве простейшего примера рассмотрим вынужденные колебания балки с опертыми концами. В этом случае, как мы видели,

и выражения (173) и (174) перепишутся таким образом:

Рис. 78.

Уравнения (146) представятся в таком виде:

и нам нужно только в каждом частном случае вместо вставить соответствующее значение обобщенной силы. Общий интеграл уравнения (с) будет

Первых два члена уравнения (d) представляют собой свободные колебания, определяемые начальными условиями движения, третий член — колебания, вызванные силой Найдем эти последние колебания для нескольких частных случаев.

Предположим, что балка (рис. 78) раскачивается силой приложенной на расстоянии с от левой опоры. Найдем соответствующее

значение Для этого в общем выражении (а) дадим координате приращение Этому будет соответствовать искривление балки по кривой

Точка приложения силы совершит перемещение

и нужное нам выражение для обобщенной силы найдется из условия

Следовательно,

Подставив это выражение в последний член выражения (d), для колебаний, вызванных силой найдем

Подставляя этот результат в (а), получаем

Первая сумма полученного решения представляет собой вынужденные колебания стержня. Период их такой же, как и период раскачивающей силы. Вторая сумма дает свободные колебания, вызываемые силой Колебания эти благодаря сопротивлениям затухают, и практически приходится считаться с вынужденными колебаниями

Вынужденные колебания могут получить особенно большую амплитуду в тех случаях, когда знаменатель какого-либо члена ряда близок к нулю, т. е. когда период раскачивающей силы приближается к периоду одного из типов собственных колебаний.

Если раскачивающая сила изменяется весьма медленно, величина будет малой, и, отбросив в знаменателях членов ряда величину придем к статическому прогибу (см. § 12):

Предположим, что раскачивающая сила приложена по середине пролета. В таком случае и выражение (183) представится так:

Если период раскачивающей силы велик по сравнению с периодом основного типа собственных колебаний стержня, то отношение будет малой величиной, которую обозначим через а; тогда получим

и так как преобладающее значение имеет первый член ряда, то можно заключить, что

т. е. динамический прогиб получается умножением статического прогиба на дробь где представляет собой квадрат отношения периода основного тона к периоду раскачивающей силы. Если, например, это отношение равно 1/4, то динамический прогиб превышает статический приблизительно на 6%.

От сосредоточенной силы легко перейти путем суммирования к системе сил или к какой угодно сплошной переменной нагрузке. Предположим, например, что весь пролет балки покрыт равномерной нагрузкой, интенсивность которой изменяется по закону Для получения вынужденных колебаний нужно в выражение (183) вместо подставить величину и потом проинтегрировать в пределах Таким путем найдем

Полагая в знаменателях всех членов ряда т. е. предполагая, что раскачивающая нагрузка изменяется бесконечно медленно, придем к известному выражению для статического изгиба балки равномерной нагрузкой

Рассмотрим теперь колебания балки, возникающие под действием постоянной силы перемещающейся вдоль балки с постоянной скоростью Если время отсчитывать от момента нахождения силы над левой опорой, то в момент точка приложения силы будет отстоять от левой опоры на расстоянии Для получения выражения обобщенной силы дадим координате в выражении (а) приращение При этом точка приложения силы переместится на величину

и обобщенная сила найдется из условия

Подставляя найденное таким путем значение в третий член выражения (d), определяя и подставляя его в (а), находим

Первая сумма полученного решения дает колебания, зависящие от скорости движения силы по балке. Это будут вынужденные колебания системы. Вторая сумма представляет собой свободные колебания.

Если уменьшить скорость то в пределе придем к статическому изгибу балки. Стоит только в полученном решении (185) положить и мы получим

что совпадает с известным выражением для изогнутой оси балки при статическом действии силы

Рассмотрим подробнее тот случай, когда знаменатель одного из членов выражения (185) обращается в нуль. Положим, например, что Так как период основных колебаний стержня [формула (179)] равен то, следовательно, т. е. сила пробегает пролет балки за время, равное половине периода основных колебаний. При этом первые члены сумм, входящих в выражение (185), дадут

Раскрывая полученную неопределенность, приходим к такому результату:

Наибольшего значения это выражение достигает при когда оно равняется

Принимая во внимание, что выделенные нами два члена имеют преобладающее значение в общем выражении для прогиба (185), на основании выражения (f) заключаем, что

т. е. при выбранной нами скорости движения динамический прогиб примерно в полтора раза больше статического.

Рассмотрев колебания, вызываемые одной движущейся силой, мы можем получить путем сложения колебания при действии нескольких движущихся сил и, наконец, рассмотреть колебания, вызываемые непрерывно распределенными движущимися силами.

В качестве более сложной задачи исследуем колебания, вызываемые в балке с опертыми концами равномерно движущейся силой переменной величины Рассуждая совершенно таким же образом, как и в ранее рассмотренных случаях, найдем для обобщенной силы выражение

Вычисляя соответствующее значение обобщенной координаты и подставляя его в (а), получаем для колебаний такое выражение:

Здесь для сокращения введены обозначения

Полагая в выражении приходим к колебаниям балки под действием постоянной движущейся силы.

Если т. е. если период переменной силы равен периоду основного типа собственных колебаний, мы будем иметь явление резонанса. Выделяя из общего решения (186) наиболее существенные члены, найдем, что в этом случае величина наибольшего прогиба по середине достигает примерно величины

На этом закончим вопрос о вынужденных колебаниях стержней с опертыми концами. При других способах закрепления следует лишь составить соответствующие выражения для Разыскание колебаний производится таким же способом, как и в рассмотренных выше примерах.