Глава II. ДЕФОРМАЦИИ

§ 10. Перемещения

Деформация упругого тела вполне определяется относительным перемещением его точек. Если упругое тело совершает поступательное движение или вращается, как абсолютно твердое тело, то при этом не изменяется относительное расположение частиц тела, тело не деформируется. Такие перемещения не вызывают внутренних напряжений. В дальнейшем, чтобы исключить перемещения, не вызывающие деформаций, условимся закреплять одну из точек упругого тела, и в этой закрепленной точке введем добавочные закрепления, препятствующие вращению упругого тела как целого относительно неподвижной точки. Устранив таким образом перемещения, свойственные абсолютно твердому телу, мы, конечно, нисколько не нарушаем общности исследования деформаций упругого тела.

Расположим начало прямоугольной системы координат х, у, z в закрепленной точке и к этим осям будем относить составляющие перемещения и, При переходе от одной точки к другой эти перемещения будут изменяться. Так как предполагается, что упругое тело при деформации не получает разрывов, то являются непрерывными функциями координат х, у, z. Далее мы будем предполагать также непрерывность последовательных производных этих функций.

Вследствие принятых условий закрепления обращаются в нуль в начале координат. Чтобы устранить возможность вращения тела вокруг неподвижной точки, закрепляют еще какой-либо линейный элемент, проходящий через эту точку, и какую-нибудь элементарную площадку, проходящую через этот линейный элемент. Закрепим, например, линейный элемент, совпадающий с осью z, и площадку, совпадающую с координатной плоскостью zx. Первое закрепление исключает возможность вращения тела относительно осей х и у, закрепление площадки устраняет вращение относительно оси z. В результате этих закреплений получаем следующие условия для перемещений в начале координат:

В курсе сопротивления материалов рассматриваются элементарные случаи деформации тел. Пользуясь принятыми обозначениями, можно без затруднений написать соответствующие выражения для перемещений. Возьмем, например, случай растяжения призматического бруска. Направляя ось х по оси стержня и обозначая через относительное удлинение и через поперечное сжатие при растяжении, для перемещений какой-либо точки при растяжении

бруска получим: Следовательно, перемещения в этом случае представляются линейными функциями координат.

Нетрудно показать, как благодаря деформации изменяются линии и поверхности, проведенные в бруске до приложения растягивающих сил. Координаты какой-либо точки А (х, после деформации принимают значения

Новые значения координат выражаются через старые линейно, поэтому прямые линии после деформации остаются прямыми, плоскости — плоскостями и поверхности второго порядка — поверхностями второго порядка.

Предположим, например, что в бруске до деформации была описана шаровая поверхность:

Определим, во что обратится эта поверхность после деформации. Для этого найдем из (а) выражения для координат х, у и z через Подставив эти выражения в уравнение шаровой поверхности, получим

Шаровая поверхность радиуса обращается в поверхность эллипсоида с полуосями

Заключения, которые мы сделали для случая простого растяжения, могут быть распространены на более общий вид деформации, когда перемещения представляются любыми линейными функциями координат. Такого рода деформацию условимся называть однородной деформацией.