§ 69. Деформации круглой цилиндрической трубки, симметричные относительно оси

Вопрос о деформациях трубки, симметричных относительно оси, встречается при решении целого ряда технических задач. Такие деформации испытывает, например, цилиндрическая трубка, закрытая по концам и подвергающаяся действию наружного или внутреннего равномерного давления. Подобные же деформации испытывают стенки круглого резервуара, наполненного жидкостью. Здесь давление на стенку будет изменяться от уровня жидкости до дна резервуара по линейному закону. Быстро вращающийся относительно своей оси цилиндрический барабан также испытывает деформации, симметричные относительно оси, под действием сил инерции, которые при больших угловых скоростях вращения могут вызвать в стенках барабана весьма значительные напряжения.

Рис. 133.

Условия симметрии дают возможность значительно упростить задать о деформациях цилиндрической оболочки в этих случаях. Так как все точки стенки трубки, лежащие в одном каком-либо поперечном сечении, совершают одно и то же радиальное перемещение то мы можем ограничиться рассмотрением изгиба элементарной полоски шириной 1 см, выделенной из трубки двумя меридиональными сечениями. Радиальные перемещения представят собой прогибы выделенной балки-полоски. Пусть представляет собой такую балку-полоску (рис. 133, а). Каждый элемент, выделенный из этой балки двумя бесконечно близкими поперечными сечениями (рис. 133, б), будет испытывать кроме изгиба растяжения, определяемые величиной усилий Мы предположим, что усилия постоянны, т. е. что наша трубка испытывает вдоль оси равномерное растяжение или сжатие. Что касается усилий то они будут зависеть от радиальных перемещений которым соответствует относительное удлинение окружности трубки, равное — Пользуясь принятыми обозначениями (см. § 67), можем написать [(см. формулу 253)]

откуда получаем

Эти усилия, как видно из рис. 133, б, дадут некоторую силу, действующую в плоскости изгиба выделенной балки-полоски. Величина этой силы, отнесенная к единице длины балки-полоски, будет равна

Точно так же найдем, что вследствие изгиба выделенной полоски продольные усилия тоже дадут составляющую, действующую в радиальном направлении и равную Кроме того, на балку-полоску будут действовать усилия, распределенные по поверхности трубки. Интенсивность их будем обозначать через В рассматриваемых случаях симметричной деформации может быть, очевидно, функцией только х.

Вся нагрузка, приходящаяся на единицу длины балки-полоски, напишется так:

Предпоследний член в этом выражении пропорционален прогибу балки-полоски. Следовательно, выделенная полоска будет изгибаться как балка, лежащая на сплошном упругом основании. Роль внешней нагрузки будет играть величина

Жесткость упругого основания определится величиной

Если продольных усилий нет, то дифференциальное уравнение для изогнутой оси выделенной балки-полоски напишется так:

Когда действуют и продольные усилия соответствующее дифференциальное уравнение представится в таком виде:

Займемся сначала уравнением От уравнения (6), полученного для случая изгиба стержня, оно отличается лишь тем, что вместо жесткости в него входит жесткость оболочки Произведя эту замену, мы можем воспользоваться результатами, полученными ранее для стержней, а также данными вспомогательной табл. 1. Заметим, что в этом случае величина а будет иметь такое значение:

Следовательно,

Вычисляя таким образом и, мы при помощи табл. 1 находим все величины, характеризующие изгиб выделенной полоски, для тех случаев, когда нагрузка

постоянная по длине полоски и концы трубки закреплены так, что пашу полоску можно рассматривать как балку опертую, заделанную или упруго заделанную на абсолютно жестких опорах. В таких условиях будет находиться, например, стенка быстровращающегося барабана (рис. 133), если пренебречь радиальными растяжениями дисков, скрепляющих барабан с осью.

Чтобы оценить влияние растяжения дисков на изгиб балки-полоски, нужно написать выражение для опорных давлений полоски и вычислить радиальные перемещения но окружности диска под действием этих давлений и сил инерции самого диска. Найденные таким образом радиальные перемещения дадут нам прогибы балки-полоски на опорах. При нашем расположении координатных осей давление балки-полоски на правую опору, равное перерезывающей силе в опорном сечении, напишется так:

Рис. 134.

Соответствующее растяжение дисков будет равно

Пренебрегая растяжением диска от сил инерции 2, получаем условие для прогиба на конце балки-полоски в таком виде:

Второе условие напишется в зависимости от способа закрепления концов полоски. Придется различать опертые, заделанные и упруго заделанные концы. Этих двух условий достаточно, чтобы найти из уравнения (а) выражение для изогнутой оси балки-полоски.

Подобную задачу мы будем иметь также при исследовании изгиба цилиндрической оболочки, испытывающей равномерное давление и подкрепленной жесткими кольцами (рис. 134). Если пренебречь сжатием подкрепляющих колец, то элементарная полоска, выделенная из оболочки между двумя кольцами, будет находиться в условиях балки с абсолютно заделанными концами, лежащей на сплошном упругом основании и изгибаемой равномерной нагрузкой. Наибольший изгибающий момент будет иметь место на опоре. Его величина найдется из формулы (21) при помощи табл. 1. Легко видеть, что сжатие колец должно сопровождаться уменьшением опорного изгибающего момента. Это уменьшение может быть вычислено, если ввести в расчет осадку опор элементарной балки-полоски, как это было намечено нами в предыдущей задаче.

Заметим, что напряжения, возникающие в балке-полоске вследствие действия опорного момента и опорных реакций, имеют характер местных напряжений и быстро затухают по мере удаления от опор. Вдали от опор можно с большой точностью полагать, что трубка находится в условиях плоской деформации. Некоторое представление о быстроте затухания можно себе составить на основании формул (11) и (12), полученных для весьма длинной балки, лежащей на сплошном упругом основании. Из этих формул видно, что на расстоянии, равном длине волны от нагруженного конца изгиб уже весьма мал.

Обращаясь к рассматриваемому случаю симметричной деформации трубки и пользуясь для определения а формулой (с), легко сделать вывод, что то

расстояние, на котором влияние опорных моментов и опорных реакций становится пренебрежимо малым, будет такого порядка, как

Если кроме боковых давлений на цилиндрическую оболочку действуют еще продольные усилия задача об изгибе балки-полоски сводится к интегрированию уравнения Очевидно, что растягивающие усилия будут уменьшать прогиб балки-полоски, а сжимающие усилия, наоборот, будут его увеличивать. Решение этой задачи не представляет никаких затруднений, и мы можем в каждом частном случае найти напряжения от изгиба элементарной полоски, напряжения от усилий а также напряжения, соответствующие усилиям Последние напряжения найдутся, если будут известны прогибы элементарной балки-полоски.

Рис. 135.

Практический интерес представляет то значение продольных усилий при котором цилиндрическая форма равновесия трубки перестает быть устойчивой и стенки трубки выпучиваются (рис. 135) по волнообразной поверхности, симметричной относительно оси цилиндра Пользуясь результатами, полученными для случая продольного изгиба стержня в упругой среде (см. стр. 283), заключаем, что сжатая длинная трубка при выпучивании подразделится на полуволны, длина которых равна

Соответствующее значение критических сжимающих напряжений определится из формулы

Мы видим, что рассматриваемое явление может произойти в пределах упругости лишь при весьма малых значениях отношения За пределами упругости форма (264) будет давать преувеличенные значения для чтобы ее распространить на область неупругих деформаций, нужно при вычислении жесткости вместо модуля упругости ввести переменную величину [см. формулу (262)]. В таком случае мы будем получать критические напряжения за пределами упругости, если в формулу (264) введем добавочный множитель При этом изменится также формула (263), определяющая длину волн.

В заключение заметим, что благодаря упрощениям, получающимся из условия симметрии, мы можем решить вопрос о деформациях цилиндрической трубки переменной толщины. Задача сводится в этом случае к расчету элементарной балки-полоски переменного сечения, лежащей на сплошном упругом основании переменной жесткости. Подобную задачу мы встречаем при расчете цилиндрических резервуаров со стенками переменной толщины. Один пример такого рода был нами рассмотрен выше (см. § 7).