§ 68. Плоская деформация трубок постоянного поперечного сечения

Когда на трубку постоянного сечения со свободными концами действуют силы, величина и расположение которых по длине трубки не изменяются, то вопрос о деформации трубки решается весьма просто. В этом случае каждое элементарное кольцо, вырезанное из трубки двумя нормальными поперечными сечениями и достаточно удаленное от концов, будет испытывать одну и ту же деформацию. Вопрос о расчете тонкой оболочки сводится, таким образом, к исследованию изгиба кольца, что может быть всегда выполнено с достаточной для практики точностью элементарным путем. Если трубка представляет собой круглый тонкостенный цилиндр, то мы можем при расчете воспользоваться результатами, полученными выше (см. § 17, 18) для кругового кольца. Выделяя из такой

трубки элементарное кольцо шириной 1 см и обозначая через радиальные перемещения точек кольца по направлению к центру и через жесткость оболочки при изгибе, получаем для искривленной оси кольца такое дифференциальное уравнение (рис. 132):

Оно отличается от того, что мы имели раньше для кольца [см. формулу (88)], лишь величиной жесткости. Вместо жесткости кольца нужно поставить жесткость оболочки После этой замены мы можем воспользоваться всеми прежними результатами.

Большой практический интерес представляет вопрос об устойчивости цилиндрической трубки, подвергающейся действию равномерного нормального давления. Если это давление превысит определенное значение, круговая цилиндрическая форма равновесия перестанет быть устойчивой, цилиндр сплющивается.

Рис. 132.

Чтобы исключить вопрос о влиянии закрепления концов на устойчивость трубки, мы здесь будем предполагать, что длина трубки весьма велика по сравнению с ее диаметром. Тогда части трубки, удаленные от концов, будут находиться в условиях, которые мы здесь принимаем, и вопрос об устойчивости трубки сводится к вопросу устойчивости элементарного кольца. Величина критических давлений на трубку найдется по известной формуле (132):

Произведенные опыты показали, что при достаточной длине трубки формула (261) дает вполне удовлетворительные результаты, если только сжимающие напряжения, соответствующие не превосходят предела упругости материала. В противном случае формула (261) будет давать, очевидно, преувеличенные значения для критических давлений. Мы можем расширить применение нашей формулы, если только условимся за пределами упругости вместо постоянной величины ставить некоторую переменную величину которая может быть вычислена на основании предварительных опытов на сжатие за пределом упругости. При этом мы можем воспользоваться той формулой, которую применяют при исследовании продольного изгиба призматических стержней прямоугольного сечения, и положить

Здесь модуль упругости материала; переменная величина, представляющая для каждого значения сжимающего напряжения величину отношения бесконечно малого приращения этого напряжения к приращению

соответствующего относительного сжатия. Произведенные на основании этих соображений вычисления 1 дали для критических давлений значения, близкие к результатам опытов.