Глава V. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК

Тонкие пластинки представляют собой тела цилиндрической формы, у которых один из размеров, именно высота цилиндра (толщина пластинки), мал по сравнению с двумя другими. Плоскость, делящую пополам высоту цилиндра, называют срединной плоскостью.

В элементарной теории изгиба пластинок эта плоскость играет такую же роль, как нейтральный слой при изгибе балок. Линия пересечения срединной плоскости с ограничивающей цилиндрической поверхностью пластинки представляет собой контур пластинки. При исследовании изгиба пластинок условимся координатную плоскость ху располагать в срединной плоскости пластинки. Ось z будем направлять так, чтобы получалась правовинтовая координатная система Толщину пластинки обозначим через и прогибы срединной поверхности пластинки в направлении оси через Исследование изгиба пластинок начнем с простейших задач: 1) с изгиба пластинки по цилиндрической поверхности и 2) чистого изгиба. Для решения задачи в этих двух частных случаях можно воспользоваться, как мы увидим ниже, результатами, полученными при исследовании изгиба стержней.

§ 46. Изгиб пластинок по цилиндрической поверхности

В ряде технических задач приходится иметь дело с изгибом пластинок по цилиндрической поверхности. Если, например, пластинка оперта на прямоугольный контур, у которого одна сторона весьма велика по сравнению с другой и на пластинку действует нагрузка, распределение которой не изменяется в направлении длинной стороны контура, то в частях пластинки, удаленных от коротких сторон контура, искривленную поверхность мы можем без особых погрешностей принимать за поверхность цилиндра, образующие которого параллельны длинным сторонам контура. В таком случае мы можем при исследовании изгиба ограничиться рассмотрением одной элементарной полоски, выделяемой из пластинки двумя плоскостями, перпендикулярными к длинной стороне контура и удаленными на расстояние 1 см друг от друга (рис. 84), и привести задачу к исследованию изгиба балки-полоски прямоугольного поперечного сечения При этом исследовании мы можем воспользоваться уже известными результатами, полученными для балок (§ 11—13).

В отличие от балки поперечное сечение балки-полоски вследствие связи с соседними полосками не будет искажаться и удлинение не будет сопровождаться поперечным сжатием в направлении оси у.

Между удлинениями и напряжениями получится в таком случае зависимость

Влтесто величины которая входила в уравнение изогнутой оси балки, теперь придется подставить величину Уравнение изогнутой оси балки-полоски при выбранном направлении осей напишется так:

Если края пластинки при изгибе могут свободно смещаться в плоскости контура, то выделенная полоска будет находиться в условиях балки, изгибаемой только поперечными нагрузками, и для определения прогибов придется в каждом частном случае выполнить интегрирование уравнения (188). В том случае, когда по продольным сторонам пластинки будут приложены равномерно распределенные растягивающие или сжимающие усилия, выделенная полоска окажется в условиях балки, испытывающей одновременное действие изгиба и сжатия или изгиба и растяжения. Обозначим через величину растягивающего усилия для выделенной полоски и положим

Рис. 84.

Тогда к нашей балке-полоске будут применимы все формулы, полученные выше (§ 11) для балок, и потому вычисление прогибов и напряжений не представит никаких затруднений. Остановимся здесь подробнее на одном случае, с которым часто приходится встречаться на практике, а именно рассмотрим цилиндрический изгиб прямоугольной пластинки под действием равномерной нагрузки. Продольные края пластинки предполагаем закрепленными по контуру так. что сближению их препятствуют некоторые упругие распоры. В таком случае при изгибе выделенной полоски в ней возникнут продольные растягивающие силы для определения которых можно будет составить уравнение, аналогичное уравнению (59) (§ 11). Если мы заменим распоры эквивалентной по площади пластинкой тощиной и будем предполагать, что сжатие распор не сопровождается поперечным расширением, то нужное нам уравнение напишется так:

где для упрощения введено обозначение

Подставляя вместо соответствующее ему выражение, как это мы делали в случае балок (§ 11), или вводя вместо приближенное выражение для прогиба (§ 13), получаем возможность определить продольные силы Дальнейший расчет легко выполняется при помощи табл. 2 части второй.

Рассмотрим в качестве первого примера пластинку со свободно поворачивающимися краями и возьмем приближенное выражение для прогиба:

Тогда уравнение (189) перепишется таким образом:

Для прогиба от одной поперечной нагрузки мы должны будем в данном случае вставить выражение

Тогда получим

Корни этого уравнения очень просто находятся при помощи линейки.

Возьмем такой численный пример: весьма длинная прямоугольная стальная пластинка с опертыми краями изгибается равномерной нагрузкой интенсивности Определить при помощи табл. 2 части второй величину наибольших прогибов и наибольших напряжений, если . Величина нагрузки изменяется от 0,1 до

Положим, например, уравнение (190) перепишется так:

Отсюда при помощи линейки находим

Подобным же образом находим все нужные нам величины для других значений Полученные результаты приводим в табл. 21.

В случае пластинки с заделанными краями мы можем для приближенного решения уравнения (189) взять прогиб полоски в таком виде:

Тогда для определения получаем такое уравнениез

Таблица 21 (см. скан)

Прогиб представится в рассматриваемом случае так:

Следовательно,

Если взять пластинку прежних размеров, то уравнение (191) при перепишется так:

откуда

Подобным же образом все нужные для расчета величины могут быть получены и при других значениях Ниже в табл. 22 приводим все результаты, полученные для нашего численного примера. Все вычисления произведены на линейке и значения функций взяты из табл. 2 части второй путем простого интерполирования, поэтому в третьем знаке приводимых чисел уже могут быть погрешности, но они не превышают 1%. Следовательно, числа определены во всяком случае с гораздо большей точностью, чем, например, нам известная величина

Таблица 22 (см. скан)

Из приведенных табл. 21 и 22 мы видим, насколько существенную роль играет продольная растягивающая сила при изгибе выделенной балки-полоски. В случае опертых краев уже при самых незначительных нагрузках продольная сила оказывает большое влияние на величину максимального прогиба и максимальных напряжений. Поэтому все обстоятельства изгиба резко отличаются от тех, которые мы имели бы при действии на балку-полоску одной равномерной нагрузки. Влияние продольной силы на величину изгибающего момента характеризуется величиной Эта функция убывает с возрастанием поэтому напряжения изгиба растут гораздо медленнее, чем в случае действия только поперечных нагрузок. То же самое замечание относится и к нарастанию прогибов. Вследствие действия продольной силы прогибы при больших нагрузках во много раз меньше соответствующих значений

Из табл. 22 для пластинки с заделанными краями мы видим, что здесь при малых нагрузках влияние продольных сил сказывается значительно меньше, чем в случае пластинок с опертыми краями. Но дальше, с нарастанием нагрузки, разница между условиями изгиба пластинок при разных способах закрепления краев сглаживается и, например, при давлении между величинами наибольших прогибов и наибольших напряжений по середине пролета особой разницы уже нет.

Путем таких же соображений, как и в случае балок [формула (b) § 13], можно показать, что при больших значениях величина максимальных напряжений по середине пролета будет мало отклоняться от величины

Насколько это заключение правильно, мы видим из сравнения значений при с числами последней колонки табл. 21 и 22.

Следовательно, в случае гибких пластинок, для которых получается большим, мы не сможем заметно изменить напряжения изменением толщины. Для существенного уменьшения напряжений нужно перейти к таким значениям отношения при которых величина существенно отличалась бы от того значения которое соответствует величине напряжений (а) (§ 13).

Наибольшие напряжения в случае пластинок с заделанными краями имеют место у контура. Из разобранного примера мы видим, что эти напряжения растут быстрее, чем напряжения по середине пролета и очень скоро достигают значений, превосходящих предел упругости для железа и стали. Если мы будем

продолжать увеличивать нагрузку, то у краев появятся остаточные деформации и вместе с тем изменится закон нарастания изгибающих моментов по концам выделенной балки-полоски. Эти моменты, очевидно, будут меньше полной пары закрепления, вычисленной в предположении следования материала закону Гука. Однако, как легко видеть из сравнения чисел табл. 21 и 22, такое изменение опорных моментов в случае гибких пластинок лишь в слабой степени скажется на величине максимальных напряжений по середине пролета.

На практике в тех случаях, когда имеют дело с постоянной нагрузкой или нагрузкой, которая прикладывается лишь в редких случаях, часто подбирают размеры пластинок так, чтобы лишь по середине пролета максимальные напряжения не превзошли допускаемой нормы. При этом на контуре напряжения, очевидно, будут больше допускаемых и даже больше предела упругости материала. У краев появятся остаточные деформации, но при постоянной нагрузке эти деформации не представляют опасности. В случае переменных нагрузок и в особенности в случае нагрузок, меняющих свой знак, такие остаточные деформации, очевидно, недопустимы, здесь приходится считаться с явлением усталости материалов.

Рис. 85.

Мы до сих пор имели в виду лишь те продольные силы, которые являются следствием изгиба балки-полоски. Иногда приходитея иметь дело с более сложной задачей, когда кроме продольных сил, появляющихся при изгибе, к выделенной балке-полоске приложены еще дополнительные растягивающие силы (рис. 85).

Если мы через будем обозначать растягивающую силу в балке-полоске, то сжимающая сила в распорке, очевидно, будет равна И уравнение для определения напишется так:

Подставляя вместо его приближенное выражение при опертых краях

и вводя для краткости обозначение

получаем

При заданных размерах пластинки и заданном значении вычисление не представляет никаких затруднений. Полагая, как мы это делали раньше, приводим уравнение (192) к виду

Корни этого уравнения отсчитываем непосредственно по линейке.

Если взять размеры пластинки те же, что и в предыдущих примерах, и положить то уравнение (192) представится так:

Отсюда находим

Величина продольной силы благодаря приложению усилий значительно увеличилась по сравнению с тем, что нам дает табл. 21, но величина максимальных напряжений по середине пролета изменилась весьма мало, так как увеличение продольной силы сопровождается уменьшением напряжений изгиба.

Если бы мы вместо растягивающих приложили сжимающие усилия такой же величины, то уравнение (192) написалось бы так:

Отсюда находим

Сравнивая эти результаты с соответствующими числами табл. 21, видим, что продольные сжимающие усилия То передаются главным образом на распоры и лишь отчасти уменьшают продольную растягивающую силу.

Заметим здесь, что изменения коэффициента распора К приводят к такому же эффекту, как приложение добавочных продольных сил. Этим изменениям может соответствовать значительное изменение продольной силы, но это лишь в слабой степени сказывается на величине максимальных напряжений.

В качестве второго примера возьмем более толстую пластинку и положим . Остальные величины оставим без изменения.

Уравнение (192) при растяжении напишется так:

откуда

При сжимающих усилиях получим , и этом случае приложением сжимающих сил нам удалось получить продольное сжатие в выделенной балке-полоске.