§ 64. Задача Буссинэ

Под этим названием известна задача о распределении напряжений, возникающих в упругой среде, ограниченной плоскостью, при действии сосредоточенной силы, приложенной в какой-либо точке ограничивающей плоскости и направленной нормально к этой плоскости. При решении этой задачи воспользуемся результатами, полученными для случая действия сосредоточенной силы на неограниченную упругую среду.

Располагаем начало координат в точке приложения силы и направляем ось z перпендикулярно ограничивающей плоскости внутрь упругой среды (рис. 91). Распределение напряжений, определяемое формулами (125), соответствует, как мы видели, сосредоточенной силе, приложенной в начале координат, и касательным усилиям, распределенным по ограничивающей поверхности и изменяющимся по закону

Рис. 91.

Для получения решения задачи Буссинэ необходимо устранить эти касательные напряжения. Воспользуемся для этой цели решением предыдущего параграфа:

В таком случае

Эти напряжения соответствуют наличию в начале координат некоторого центра давления, в котором по каждой из трех взаимно перпендикулярных осей действуют по две равные и прямо противоположные силы. Предположим теперь, что в неограниченной упругой среде центры давления равномерно распределены вдоль отрицательного направления оси z. В таком случае напряжения представляются формулами

По плоскости нормальные напряжения обращаются в нуль, а касательные напряжения изменяются по такому закону Теперь видно, что суммированием решений (133) и (125) мы при надлежащем выборе

произвольных постоянных можем получить решение задачи Буесинэ. Чтобы освободить ограничивающую плоскость от касательных усилий, соответствующих решению (125), нужно в решении (133) положить

Тогда при сложении этих решений напряжения представятся такими формулами:

Произвольную постоянную нужно выбрать таким образом, чтобы напряжения (134) соответствовали заданной силе приложенной в начале координат и направленной по оси z. Для этого выделим начало координат сферической поверхностью и рассмотрим усилия, приложенные по этой поверхности и действующие на выделенный элемент. Составляющая этих усилий, имеющая направление оси z, определится так:

Чтобы усилия уравновешивали силу приложенную в начале координат, нужно положить откуда

Окончательно напряжения, вызываемые силой в упругой среде, ограниченной плоскостью, представятся так:

По какой-либо площадке (см. рис. 91), параллельной ограничивающей плоскости, будут действовать нормальные напряжения и касательные напряжения Отношение этих напряжений, как легко видеть из формул (134), равно Следовательно, полное напряжение по той же площадке имеет

направление соответствующего радиуса-вектора, проведенного из начала координат. Величина полного напряжения будет

Если представить себе шаровую поверхность, касательную к ограничивающей плоскости в точке О и проходящую через точку, соответствующую площадке то для любой точки этой поверхности будем иметь где диаметр проведенной сферической поверхности.

Следовательно, полное напряжение по горизонтальной площадке, проходящей через любую точку указанной сферической поверхности, имеет постоянное значение

Займемся теперь вопросом о перемещениях в рассматриваемом случае. На основании формул (103) имеем евог Вставляя вместо найденные выше выражения, получаем

Для определения перемещения из тех же формул (103) имеем

Вставляя вместо напряжений и перемещения и найденные выше значения, получаем

откуда, выполняя интегрирование, находим

В дальнейшем нам понадобятся выражения для перемещений точек ограничивающей плоскости. Полагая в формулах (135) и равным нулю, находим для этих перемещений такие выражения:

Заметим, что произведение для точек ограничивающей поверхности остается постоянным, следовательно, в сечениях этой поверхности плоскостями, проходящими через ось z, будем получать гиперболы, для которых являются асимптотами. В начале координат перемещения обращаются в

бесконечность. Здесь при действии сосредоточенной силы получаются остающиеся деформации, и наши выводы, полученные для идеально упругого тела, неприменимы. При вычислении перемещений нужно представить себе часть материала у точки приложения силы, выделенной посредством сферической поверхности такого радиуса, чтобы напряжения в точках этой поверхности не превосходили предела упругости.

Результаты, полученные выше для случая действия одной сосредоточенной силы, легко применить к решению более общей задачи, когда имеется ряд сосредоточенных сил или какая-либо сплошная нагрузка. При определении полных напряжений по какой-либо площадке нам придется лишь суммировать напряжения от отдельных сил, вычисляемые по формулам (134). То же самое замечание относится и к вычислению перемещений. Вычислим, например, перемещения для точек ограничивающей плоскости в том случае, когда имеется сплошная нагрузка. Пусть обозначает интенсивность этой нагрузки. В таком случае будет нагрузка, приходящаяся на элементарную площадку и искомое перемещение представится интегралом:

причем интегрирование должно быть распространено на всю загруженную часть ограничивающей плоскости. Здесь обозначает переменное расстояние от различных точек загруженного участка до той точки, перемещение которой мы разыскиваем.

Заметим, что формула (138) дает конечные значения перемещения не только для удаленных точек ограничивающей плоскости, но также и для точек загруженного участка.