§ 23. Устойчивость многопролетных стержней

Для решения вопроса об устойчивости стержней, лежащих на многих опорах, мы воспользуемся уравнениями (43) [§ 9] для неразрезных балок, подвергающихся одновременному действию изгиба и сжатия. Пусть обозначают длины пролетов, сжимающие усилия в последовательных пролетах (рис. 46). Тогда, сохраняя наши прежние обозначения, будем иметь

46.

Если допустить, что под действием продольных сил стержень искривился, то в опорных сечениях появятся моменты, связанные между собой уравнениями вида (43):

Число этих уравнений будет равно числу промежуточных опор.

В том случае, когда концы стержня не могут свободно поворачиваться и, следовательно, концевые моменты отличны от нуля, мы к уравнениям вида (а) должны присоединить еще два уравнения, которые легко могут быть написаны на основании условий закрепления [см. формулу (42)]. Полученная таким образом система уравнений может дать для опорных моментов решения, отличные от нуля, лишь в том случае, если определитель этой системы обращается в нуль. Равенство нулю определителя и даст нам нужное уравнение для нахождения критической нагрузки.

В случае одной промежуточной опоры и опертых концов будем иметь одно уравнение вида (а), и условие для определения критической силы напишется так:

Если продольные силы приложены лишь по концам, то вставляя вместо их значения (§ 9), получаем такое уравнение:

Наименьшее значение силы удовлетворяющее этому уравнению, и будет искомая критическая нагрузка. В случае стержня постоянного сечения уравнение (с), определяющее критическую нагрузку, может быть представлено в более простом виде.

Для стержня, имеющего две промежуточные опоры и сжатого силами, приложенными по концам, уравнения (а) напишутся так:

Приравняв нулю определитель этих уравнений, получим уравнение для определения критической нагрузки. Разыскание корней этого уравнения приходится производить путем последовательных попыток. Пределы для наименьшего корня мы легко установим, если представим себе стержень разрезанным над опорами и вычислим критические нагрузки для отдельных пролетов. Искомая критическая нагрузка, очевидно, будет заключаться между наибольшей и наименьшей из тех, которые мы найдем для отдельных пролетов. Таким образом, расчет на продольный изгиб многопролетных стержней не встречает каких-либо принципиальных затруднений, вся трудность заключается лишь в разысканий корней соответствующего трансцендентного уравнения.

Способ, намеченный нами здесь для абсолютно жестких опор, без особых затруднений может быть распространен на случай упругих опор, с которыми мы встречаемся, например, при расчете на устойчивость сжатых поясов открытых мостов

Для стержней постоянного сечения и равномерно сжатых по всей длине поставленная задача решается проще, если мы за неизвестные примем не опорные моменты, а опорные реакции. Для определения промежуточных опорных реакций в случае балок, подвергающихся одновременному действию сжатия и равномерной поперечной нагрузки, мы имеем систему уравнений (44) [§ 9]. Критическое значение сжимающей силы — это то наименьшее значение, при котором определитель уравнений (44) обращается в нуль.

Возьмем в качестве простейшего примера стержень, концы которого оперты на абсолютно жесткие опоры. Промежуточное сечение лежит на упругой опоре (рис. 47).

Для определения промежуточной опорной реакции мы будем иметь одно уравнение вида (44). Приравнивая нулю коэффициент при в этом уравнении,

получаем условие для определения критического значения сжимающей силы. Положив представим это условие так:

Теперь остается только путем последовательных попыток найти наименьшее значение удовлетворяющее полученному уравнению. При будем иметь бесконечно жесткую промежуточную опору и уравнение (е) совпадет с тем, которое получается из (с) при постоянном сечении стержня. При будем иметь стержень на двух опорах со свободно поворачивающимися концами, и для критической нагрузки получаем

Рис. 47.

Рис. 48.

Для всех промежуточных значений будет заключаться между предельными значениями, соответствующими найдется путем попыток из уравнения Наиболее просто решается этот вопрос в том случае, когда промежуточная опора делит сжатый стержень пополам. При этом будем иметь и уравнение (е) перепишется так:

Крайние пределы для в данном случае устанавливаются очень просто. Когда стержень при выпучивании делится на две совершенно независимые полуволны (рис. 48, а) и критическая нагрузка будет такая же, как для стержня половинной длины со свободно поворачивающимися концами. Высший предел для наименьшего корня уравнения (f) будет, следовательно,

Для которому соответствует искривление, представленное на рис. 48, б, получим низший предел наименьшего корня уравнения

Для всех промежуточных значений а наименьший корень уравнения (f) будет оставаться в пределах

При этом и следовательно, второй множитель в уравнении (f) может обращаться в нуль лишь при условии

Для всех значений а, меньших, чем те, которые определяются неравенством (g), т. е. для всех более жестких опор критическая нагрузка соответствует обращению в нуль первого множителя в выражении (f) и мы будем иметь т. е. ту же критическую силу, что и при абсолютно жесткой промежуточной опоре. Неравенство представляет практический интерес, так как иногда приходится подбирать жесткость промежуточной опоры, и мы при помощи этого неравенства всегда сможем подобрать жесткость так, чтобы среднюю опору можно было принимать за абсолютно жесткую.

Наименьшая жесткость, при которой опору можно считать абсолютно жесткой, определится на основании из условия

Пользуясь вторым приемом для решения вопросов устойчивости, мы в данном случае весьма просто находим приближенное решение, допустив, что выпучивающийся под действием продольной силы стержень изгибается по синусоиде

Приращение энергии деформации составится из энергии изгиба и из энергии, накапливаемой в оседающей опоре,

Для работы сжимающей силы при сближении концов стержня имеем Критическая сила определится из условия или Следовательно,

При малой жесткости промежуточной опоры (при большом а) формула эта имеет большую точность. С возрастанием жесткости точность формулы убывает, но даже и в предельном случае, когда опора начинает вести себя как абсолютно жесткая, мы получаем по приближенной формуле вполне удовлетворительный результат. В самом деле, предельное значение жесткости а, при котором опора перестает смещаться и, следовательно, определится по приближенном формуле из условия откуда что отличается от точного значения примерно на 7%.

Если промежуточная опора расположена не посередине пролета, то для определения нужно обратиться к уравнению Низший предел для наименьшего корня, очевидно, сохраняется прежним, он соответствует абсолютно гибкой промежуточной опоре. Верхний предел для и получим при Он будет меньше . В самом деле, при и при правая часть уравнения (е) будет равна нулю, левая же часть, очевидно, будет отрицательной. Несколько уменьшив и, мы сможем уравнять левую и правую части. Следовательно, смещение средней опоры от середины пролета сопровождается уменьшением устойчивости системы. Установив пределы, разыскиваем нужный нам наименьший корень уравнения (е) путем последовательных попыток.

При этом необходимо иметь в виду следующее обстоятельство: при -илиа правая часть уравнения (е) обращается в нуль, и если предположить, что то наименьшее значение для получим, положив откуда Отсюда заключаем, что при искомый корень уравнения (е) заключается в пределах При большей жесткости промежуточной опоры корень лежит в пределах

Если сжатый стержень концами опирается на абсолютно жесткие опоры и в ряде промежуточных сечений лежит на упругих опорах, то при определении критической нагрузки придется взять систему уравнений вида (44). Число таких

уравнений будет соответствовать числу промежуточных опор. Приравняв к нулю определитель этих уравнений, получим трансцендентное уравнение для разыскания критической нагрузки.

Решение этого уравнения возможно лишь путем последовательных попыток. Что касается тех значений коэффициентов жесткости а, при которых опоры ведут себя как абсолютно жесткие, то в случае равной жесткости опор и равных пролетов задача эта решается без особых затруднений Предположим, что наш стержень подразделяется на равных пролетов. В таком случае при абсолютной жесткости опор критическая нагрузка определится условием откуда

Будем теперь искать то значение коэффициента жесткости а, при котором критическая нагрузка меньше только что найденной на бесконечно малую величину. В таком случае

где — бесконечно малая величина.

Вставляя (h) в уравнения вида (44) и отбрасывая малые величины по сравнению с конечными, находим, что все члены, заключающие произведения синусов, пропадут. Это значительно упрощает наши уравнения. Так, например, в случае двух промежуточных опор уравнения эти напишутся так:

Приравнивая к нулю определитель этих уравнений, получаем

Отсюда находим нужный нам корень

Подобным же образом для трех промежуточных опор найдем

Вообще в случае балки, имеющей пролетов, для той предельной жесткости, при которой опоры ведут себя как абсолютно жесткие, получим такое выражение:

Значения следующие: