§ 51. Случай прямоугольного поперечного сечения
Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 76) мы можем составить сколько угодно функций, обращающихся на контуре в нуль. Например, всякая функция вида гртп 
будет удовлетворять этому условию, и мы можем представить функцию напряжений в виде ряда 
В таком случае будем иметь
при нечетных тип. Если 
или 
четное число, то этот интеграл обращается в нуль.
Рис. 76.
Уравнения (90) при нечетных тип получают такую форму:
если 
или 
четное число, то
Определяя таким образом коэффициенты получаем для функции 
выражение в виде такого бесконечного ряда:
Здесь для краткости обозначено через а отношение 
Зависимость между скручивающим моментом и величиною 
на основании уравнения (75) напишется так:
Результат этот можно представить в более удобной для вычислений форме, если принять во внимание, что
В таком случае
Дальнейшее упрощение получим, если примем во внимание, что
тогда
Выбирая обозначения так, чтобы 
было больше а, мы без особых затруднений можем вычислить сумму бесконечного ряда, входящего в полученную формулу (92), так как 
весьма близок к единице и ряд вообще быстро сходиться. В случае весьма узкого прямоугольника можем положить 
и представить (92) так:
Для квадратного сечения формула (92) дает
Вообще формула (92) может быть представлена в таком виде: 
Значения коэффициента к для различных значений 
вычислены Сен-Венаном. Несколько таких значений мы приводим в табл. 4.
Таблица 4 (см. скан)
Наибольшие касательные напряжения имеют место в срединах длинных сторон прямоугольного контура. Формула для касательных напряжений в различных точках линии 
напишется так:
Полагая 
или 
получаем значение наибольших напряжений:
Значения коэффициента 
для различных а приведены в табл. 4. Метод Ритца дает возможность представить функцию напряжений в различных формах. Вместо тригонометрического ряда мы для представления 
можем воспользоваться целым полиномом [формула (f) § 50 ). Направив координатные оси по осям симметрии прямоугольника, положим
Здесь в силу симметрии нужно сохранить лишь четные значения тип.
В качестве примера произведем расчет для квадратного сечения. Ограничимся первым членом ряда и положим 
Вставляя это в интеграл (89), находим для 
значение 
Величина скручивающего момента получается
Сравнение с формулой (94) показывает, что взятое нами первое приближение дает величину 
с точностью до 
В качестве второго приближения положим
Уравнения (90) дадут для неопределенных пока коэффициентов значения 
В таком случае
Второе приближение дает погрешность, равную 0,15%. Для напряжений приближенное решение обладает значительно меньшей точностью. Например, погрешность в величине максимума напряжений для второго приближения достигает 4%.
Способ, примененный выше к прямоугольнику, легко может быть распространен на случай любого выпуклого многоугольника. Представив функцию напряжений в виде полинома
где 
уравнения отдельных сторон многоугольника, вычислим коэффициенты 
с помощью уравнений (90).
В случае контуров, имеющих входящий угол, например для уголка тавра и др., применение намеченного метода встречает затруднения. В таком случае следует воспользоваться или вычислительным, или графическим способом решения уравнения (76).
