§ 15. Применение тригонометрических рядов к исследованию изгиба стержней, лежащих на сплошном упругом основании

Если стержень опертыми концами лежит на сплошном упругом основании, то при исследовании его изгиба выгодно воспользоваться выражением для прогиба в форме тригонометрического ряда

Коэффициенты в этом выражении вычисляются для каждого частного случая при помощи начала возможных перемещений. Нужное для этого выражение потенциальной энергии составится из двух частей: энергии изгиба стержня и энергии деформации упругого основания Для первой части можем воспользоваться известным выражением (61). Что касается энергии деформации основания, то она представится таким образом

Следовательно,

Рассмотрим изгиб балки сосредоточенной силой приложенной на расстоянии от левого конца. Для определения любого коэффициента в выражении (а) начало возможных перемещений дает в этом случае такое уравнение:

откуда находим

Общее выражение (а) для изогнутой оси стержня перепишется так:

Имея этот результат, мы путем сложения действия сил легко можем перейти к любому случаю нагрузки. Например, для равномерно распределенной нагрузки интенсивности нужно в выражение (81) поставить вместо величину и потом произвести интегрирование по в пределах от нуля до При этом получается такой результат:

В тех случаях, когда мы имеем дело с податливым основанием, величина будет мала, и мы с достаточной для практики точностью можем ограничиться лишь первым членом выражения (82). Наибольший прогиб будет иметь место посередине пролета и величина его будет

Этой формулой выгодно воспользоваться для приближенного расчета перекрестной балки (§ 6). Величина промежуточной опорной реакции для среднего етержня главного направления определится из выражения [см. формулу (b) § 6]

Если в него поставить вместо у величину, определяемую из (83), и принять во внимание, что в рассмотренном случае (см. § 6) то получим

где для сокращения пользуемся прежним обозначением

При малых значениях и приближенная формула (b) дает для достаточно точные значения. С возрастанием и точность убывает и при и — 1 относительная погрешность уже несколько больше

Подобным же образом решается задача в случае двух перекрестных балок Распространение того же приема на случай какого угодно числа равноудаленных поперечных балок приводим в следующем параграфе.

Если кроме равномерной нагрузки имеется еще продольная сжимающая или растягивающая сила, то выражение для изогнутой оси легко представляется в таком виде:

где представляет собой, как и прежде, отношение продольной силы к эйлеровой нагрузке.