§ 40. Общий случай изгиба кривого бруска

Определяя напряжения в бруске, изгибаемом силой, приложенной на конце, мы подобрали произвольные постоянные в решении (68) так, чтобы напряжения на внутреннем и наружном круговых очертаниях бруска обращались в нуль. Полагая

получаем распределение напряжений для случая, когда кроме силы, приложенной на конце, на брусок действует по наружному круговому очертанию сплошная нагрузка. Нормальная составляющая этой нагрузки изменяется пропорционально касательная — пропорционально

Выбрав функцию напряжений в виде мы получили бы решение, подобное предыдущему, пришлось бы только поменять местами .

Комбинируя полученное таким образом решение с решением Ламе, X. С. Головин получил распределение напряжений в своде (рис. 32) для случая, когда по наружному очертанию свода действуют нормальные и касательные

напряжения, определяемые формулами

Произвольные постоянные он определил из условия, что элемент поперечного сечения совпадающий с точкой С, не совершает никаких перемещений, следовательно, при

Распределение нормальных напряжений по сечениям и полученное Головиным для случая приведено в табл. 3.

Таблица 3 (см. скан)

Рис. 32

Вследствие сравнительно малой ширины кольца распределение нормальных напряжений в приведенном численном примере мало отклоняется от линейного закона, но все же и здесь гипотеза плоских сечений дает результаты, более близкие к точному решению.

Выбирая функцию напряжений в виде или получаем решение для того случая, когда нормальные и касательные напряжения по круговым очертаниям бруска изменяются пропорционально или Наложением такого рода решений мы можем получить распределение напряжений в бруске при любых нагрузках Для этого нужно только интенсивность внешних и нормальных усилий представить в виде тригонометрических рядов.

Этим приемом мы воспользуемся дальше при исследовании напряжений вблизи круглых отверстий и при определении напряжений в круглом кольце, здесь приведем общее решение дифференциального уравнения плоской задачи в полярных координатах. Выражение для функции напряжений представится так:

Путем дифференцирования мы по известным формулам найдем отсюда общие выражений для составляющих напряжений. Входящие в эти выражения

произвольные найдутся из условий на контуре, к которым в случае многосвязных контуров должны быть присоединены еще условия однозначности перемещений (§ 30).

При помощи этих общих формул особенно просто решается задача о распределении напряжений в клине (рис. 33), подвергающемся действию нормальных и касательных усилий, приложенных по граням и если только интенсивности этих усилий могут быть представлены целыми алгебраическими функциями Составляя при помощи функции напряжений (69) формулы для напряжений и располагая их по возрастающим степеням будем иметь

Рис. 33.

Множитель при каждой степени в этих выражениях заключает четыре произвольные постоянные. Для их определения мы будем иметь всего четыре условия, так как напряжения заданы на обеих гранях клина. Например, в случае равномерного нормального давления по грани берем общего решения (а) члены, не заключающие Условия на поверхности дадут нам для определения произвольных уравнения

Так же легко решается вопрос о распределении напряжений при изменении давлений вдоль грани по линейному закону, по закону параболы и т. д.

Как частные случаи общего решения (а) могут быть получены также результаты, приведенные нами в § 36. При этом, конечно, нужно будет принять во внимание собственный вес клина.