Глава VIII. ИЗГИБ

§ 52. Постановка задачи

Предположим, что невесомый призматический стержень, закрепленный в точке О, изгибается силами, распределенными на конце В. Силы эти статически эквивалентны силе приложенной в центре тяжести поперечного сечения и направленной по одной из главных осей инерции.

Разыскание напряжений в общем случае сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия

При этом должны быть выполнены на поверхности условия

Кроме того, в каждой точке должны быть удовлетворены дифференциальные зависимости

При решении задачи воспользуемся полуобратным методом Сен-Венана. Заранее зададимся некоторыми из напряжений на основании уже известных нам простейших решений и остальные напряжения постараемся подобрать так, чтобы были удовлетворены уравнения (а) и условия (b) и (с). Если бы наш стержень испытывал чистый изгиб в плоскости xz, то отличными от нуля были бы лишь напряжения Обозначив через величину изгибающего момента, получим в этом случае для напряжений значение

При исследовании изгиба полосы силой, приложенной на конце, мы нашли для нормальных напряжений то же выражение (d). Но кроме нормальных напряжений в этом случае получаются еще и касательные напряжения, распределенные по плоскости поперечного сечения.

Предположим, что и в рассматриваемом более общем случае изгиба нормальные напряжения определяются прежней формулой (d). Кроме этих нормальных напряжений будут, конечно, отличными от нуля касательные напряжения, распределенные по плоскости поперечного сечения стержня, т. е. напряжения

Что касается остальных напряжений то будем их считать равными нулю. Если, исходя из этих допущений, мы сможем удовлетворить уравнениям (а) и условиям (b) и (с), то полученное таким путем решение будет точным решением поставленной выше задачи.

После сделанных предположений относительно напряжений, система уравнений (а) и условия значительно упростятся.

Из первого и второго уравнений (а) заключаем, что

т. е. распределение касательных напряжений одинаково в рассматриваемом случае для всех поперечных сечений стержня, являются функциями только х и у.

На основании сделанного выше допущения относительно напряжений имеем

Следовательно, оставшееся третье уравнение системы (а) перепишется так

Так как боковая поверхность стержня предполагается свободной от всяких усилий и для нее то из уравнений (b) нам придется считаться лишь с третьим уравнением, которое представится в таком виде:

Что касается уравнений (с), то при сделанных предположениях первые три из них и последнее будут тождественно удовлетворены, а уравнения

четвертое и пятое перепишутся так:

Таким образом, мы привели задачу об изгибе призматического стержня к решению уравнений Дальнейшее решение упростится, если мы представим неизвестные пока напряжения посредством функции напряжений Легко видеть, что дифференциальное уравнение (е) будет удовлетворено, если положим

Рис. 77.

Здесь кроме функции напряжений мы ввели еще одну произвольную пока функцию для того, чтобы в дальнейшем упростить выполнение условия на поверхности Вставляя выражения для напряжений (h) в уравнения (g), получаем для функции напряжений уравнения

откуда

где с — произвольная постоянная величина.

Преобразуем теперь условие на поверхности При выбранном расположении координат (рис. 77) имеем Следовательно, условие (f) может быть представлено в таком виде:

Задача о распределении напряжений при изгибе сводится, таким образом, к разысканию решения дифференциального уравнения (96), удовлетворяющего условию (97) на контуре. В каждом частном случае, когда нам удастся найти такое решение, мы тем самым разрешим задачу о распределении напряжений при изгибе. При этом боковая поверхность стержня будет свободна от всяких усилий. Усилия на концевых поперечных сечениях распределятся так же, как и во всяком промежуточном сечении. На практике приходится встречаться с самыми разнообразными способами приложения изгибающей силы, но согласно принципу Сен-Венана изменение в распределении усилий по плоскости концевого сечения может вызвать значительные изменения напряжений лишь в точках, близких к концам; в удаленных точках мы всегда можем пользоваться решением, получаемым из уравнений (96) и (97).

Особенно просто решается вопрос в том случае, когда удается так выбрать чтобы функция обращалась на контуре поперечного сечения в нуль. При этом условии будем иметь т. е. функция будет иметь на контуре постоянное значение. Уравнение (96) будет совпадать с дифференциальным уравнением для поверхности провисания мембраны, равномерно

натянутой на контуре сечения, но нагрузка будет теперь не равномерной, как в случае кручения, а переменной. Ее интенсивность в каждой точке будет определяться правой частью уравнения (96).

Легко показать, что получаемое при этом решение соответствует условию задачи и определяемые таким путем касательные напряжения по плоскости поперечного сечения приводятся к одной вертикальной силе В самом деле, если на контуре постоянно, то

Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае на контуре равна имеем

Кроме того, Следовательно,

Нам нужно еще позаботиться о том, чтобы равнодействующая всех касательных усилий проходила через центр тяжести поперечного сечения. В противном случае мы будем иметь одновременное действие изгиба и кручения. Момент касательных напряжений относительно оси z представляется формулой Соответствующим выбором произвольной постоянной с в уравнении (96) мы всегда можем достигнуть того, чтобы обращалось в нуль. В самом деле, постоянная в правой части уравнения (96) соответствует распределению напряжении, определяемому уравнением а это как раз те напряжения, с которыми мы имели дело при исследовании кручения призм. Меняя с, мы будем изменять и величину скручивающего момента, следовательно, надлежащим выбором с можем обратить в нуль момент

В случае симметричных сечений напряжений, определяемых постоянной с, не будет, и мы можем положить в этих случаях Теперь рассмотрим частные случаи.