§ 34. Изгиб балки с опертыми концами под действием равномерно распределенной нагрузки

Балка (рис. 21) прямоугольного поперечного сечения изгибается сплошной вертикальной нагрузкой, равномерно распределенной по верхней грани Обозначим через 21 пролет балки и через ее высоту. Ширину балки будем считать равной единице. Пусть нагрузка, приходящаяся на единицу длины балки. Тогда касательные усилия, действующие по концам балки, должны в сумме давать реакции, равные Наша задача сводится к разысканию такого решения уравнения

при котором будут выполнены следующие условия на продольных сторонах полосы:

Рис. 21.

Что касается усилий на поперечных сторонах то они должны на каждом конце балки давать вертикальную силу, равную Следовательно, при имеем

Воспользуемся решениями плоской задачи при помощи целых полиномов (§ 31). Возьмем решение (е) (стр. 79) и, чтобы освободиться от касательных напряжений по сторонам нормальных напряжений по стороне наложим на это решение напряжения соответствующие функциям напряжений

Общие выражения для напряжений напишутся так:

Чтобы касательные напряжения по верхней и нижней граням балки обращались в нуль, необходимо положить

Условие равенства нулю нормальных напряжений по нижней грани балки дает уравнение откуда

Для определения постоянной воспользуемся условием для нормальных напряжений по верхней грани балки. Чтобы напряжения равнялись при необходимо положить

Вставляя найденные значения постоянных в общие выражения для напряжений (d), получаем

Легко проверить, что найденное распределение напряжений удовлетворяет всем условиям на продольных сторонах полосы, а также первому и третьему из условий (с) на поперечных сторонах

Чтобы удовлетворить второму из условий (с) и получить такое распределение напряжений, при котором моменты нормальных усилий, распределенных по концам балки, равны нулю, нужно к найденным решениям (е) присоединить напряжения

соответствующие чистому изгибу балки.

Окончательно будем иметь

Принимая во внимание, что есть перерезывающая сила в сечении балки, отстоящем на х от середины пролета, заключаем, что найденное выше распределение касательных напряжений совпадает с тем распределением, которое дает элементарная теория изгиба. Что касается нормальных напряжений то в случае низких балок (с мало по сравнению с I) для сечений, удаленных от концов, напряжения эти мало отличаются от тех, которые нам дает элементарная теория изгиба. У концов балки преобладающее значение приобретает второй член в выражении для и распределение нормальных напряжений будет значительно отклоняться от линейного закона. Заметим, что распределение напряжений, полученное нами у концов балки, соответствует определенному

распределению внешних сил по концевым поперечным сечениям балки. Заменяя эту систему сил другой системой, эквивалентной ей, мы получим иное распределение напряжений у концов, но в местах, удаленных от концов, такая замена, согласно принципу Сен-Венана, не вызовет значительных изменений в напряжениях.

Что касается напряжений то их обыкновенно пропускают в элементарной теории изгиба, хотя в случае малой ширины балки эти напряжения могут иметь существенное значение.

Уравнение изогнутой оси балки может быть получено таким же путем, как это мы сделали в случае изгиба балки силой, приложенной на конце. Оказывается, что выражение для кривизны получается в этом случае несколько отличным от того, которое дает элементарная теория. Этого, конечно, и нужно было ожидать, так как при элементарном выводе пропускается влияние напряжений