§ 36. Решение плоской задачи для случая клина

Предположим, что пластинка, ограниченная двумя пересекающимися прямыми и об (рис. 25), подвергается действию сплошной нагрузки, распределенной по грани и действию собственного веса. Если интенсивность сплошной нагрузки пропорциональна у, то решение задачи представляется в особенно простом виде. Напряжения являются в этом случае линейными функциями от координат и функция напряжений будет однородной функцией третьей степени.

Рис. 25

Положим

и определим постоянные так, чтобы были удовлетворены условия на гранях и ОВ пластинки. Если через у обозначим вес единицы объема пластинки и через интенсивность сплошной нагрузки по грани то эти условия напишутся так:

2) при принимая во внимание, что по грани условия (56) напишутся так:

Подставляя вместо выражение (а), из условий 1 найдем Что сается условий 2, то они дают нам следующие уравнения:

откуда

Для напряжений получаем формулы

По сечению пластинки плоскостью иерпендикудярной к у, нормальные напряжения распределяются по закону трапеции. Здесь решение плоской задачи совпадает с элементарным решением, получаемым на основании гипотезы плоских сечений.

Касательные напряжения как видно из общего решения (b), распределяются по сечению А В по закону треугольника и достигают максимального значения у точки Б. Результат этот отличается от того, который дает элементарная теория изгиба в применении к клину

Функция напряжений представится в виде однородного полинома третьей степени также и в том случае, когда грань пластинкж подвергающаяся действию давлений, не вертикальна, а составляет с осью любой угол. Постоянные коэффициенты входящие в выражение (а), определятся из четырех условий, относящихся к граням и

Рис. 26.

Если грань пластинки подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности (рис. 26), то напряжения в какой-либо точке зависят лишь от угла 6, составляемого радиусом с осью у. Величина составляющих напряжения определится из следующих формул

Легко проверить, что это решение удовлетворяет условиям на гранях и пластинки.

Решениями иногда пользуются при расчете подпорных стенок треугольного поперечного сечения, подвергающихся действию давления воды или сыпучих грунтов. Применяя эти решения, нуяшо иметь в виду, что они получены для пластинки, стороны которой и ОВ имеют неограниченную длину. Если мы эту пластинку закрепим, например, по плоскости как это имеет место в случае подпорной стенки высоты то в плоскости закрепления может получиться распределение напряжений, значительно отличающееся от того, которое дают формулы Полное решение задачи можно было бы получить лишь при одновременном рассмотрении деформаций, клина и той пластинки (элемент фундамента плотины), с которой этот клин скреплен.