§ 77. Общее решение для симметрично загруженной сферической оболочки

В случае подвижно опертых краев мы можем, как было показано, получить достаточно точное для практических приложений решение путем последовательных приближений. Для получения решения при других способах закрепления края оболочки нужно обратиться к общим уравнениям (280). Мы можем несколько упростить эту систему, если воспользуемся интегралом первых двух ее уравнений:

где

Надлежащее значение постоянной С определяется из условий статики. Легко видеть, что левая часть равенства (а) представляет собой проекцию на ось симметрии (см. рис. 141) усилий, распределенных по сечению сферической оболочки конусом с углом при вершине, равным 20. Следовательно,

представляет собой проекцию на ту же ось соответствующей нагрузки сферической оболочки.

В каждом частном случае вычисление не представляет затруднений, и тогда мы при помощи второго уравнения (280) получаем

Присоединяя к (а) и (b) третье уравнение (280), получаем систему, к решению которой сводится расчет сферической симметрично загруженной оболочки.

За основные переменные примем в дальнейшем определяемые таким образом

В таком случае из (а) и (b) получаем

На основании принятых обозначений (с) формулы (283) и (284) перепишутся так:

Подставляя это в выражения для изгибающих моментов представим третье уравнение (280) так:

или, вводя для сокращения обозначение

получаем

Для получения другого уравнения, связывающего переменные воспользуемся формулами (286) и (287) предыдущего параграфа. При помощи этих формул находим

Подставляя вместо их значения

мы, на основании (288), получаем

или в сокращенном виде

где

Если вместо переменной ввести новую переменную таким образом, что при этом

уравнения перепишутся в таком виде:

Вопрос о расчете сферической симметрично загруженной оболочки сводится, таким образом, к решению двух совокупных дифференциальных уравнений второго порядка. В ряде случаев удается найти частное решение этих уравнений и привести, таким образом, задачу к тому случаю, когда на оболочке нет нагрузки и напряжения возникают лишь благодаря действию усилий по опорному контуру оболочки. Дифференциальные уравнения перепишутся при этом так:

Определяя из второго уравнения и подставляя его в первое уравнение, получаем для величины V такое дифференциальное уравнение четвертого порядка:

где

Такому же уравнению будет удовлетворять также и величина

Уравнение четвертого порядка (290) распадается на два уравнения второго порядка такого вида:

Легко видеть, что интеграл каждого из этих уравнений будет в то же время и интегралом уравнения (290). Возьмем, например, первое уравнение Из него имеем

Следовательно, решения этого уравнения будут удовлетворять уравнению (290). То же можно показать и для второго уравнения

Заметим еще, что если будет решением первого уравнения то будет удовлетворять второму уравнению той же системы и мы можем, следовательно, ограничиться рассмотрением лишь одного из этих уравнений. Первое из уравнений на основании обозначения (е) перепишется так:

Введя новые переменные

получим для уравнение

которое принадлежит к уравнениям вида

Уравнения можно привести к совпадению, если положить

Интеграл уравнения будем искать в форме такого ряда:

Если мы вставим этот ряд в уравнение и приравняем нулю коэффициенты при каждой степени х, то получим такую зависимость между коэффициентами ряда (и):

Интеграл уравнения представится таким рядом:

Этот ряд называется гипергеометрическим. Он будет, безусловно, сходящимся для всех значений х, меньших единицы, и мы можем им воспользоваться для представления искомой функции Вводя для сокращения обозначение

мы можем интеграл уравнения написать так:

Второй интеграл того же уравнения получается несколько более сложным путем и может быть представлен в таком виде:

где представляет собой степенной ряд, сходящийся при При интеграл обращается в бесконечность. Поэтому мы в дальнейшем при рассмотрении напряжений в сферической оболочке, не имеющей отверстия у своей вершины, можем ограничиваться решением (292).

Разделив (292) на действительную и мнимую часть, можем написать

где ряды, расположенные по возрастающим степеням х. Коэффициенты этих рядов найдутся из (292). К тем же рядам мы придем, как было показано, также и при решении второго уравнения системы Следовательно, при рассмотрении сферической оболочки без отверстия в вершине мы можем интеграл уравнения (290) написать так:

где произвольные постоянные.

Два других решения этого уравнения четвертого порядка, обращающихся в бесконечность в вершине оболочки (при нужно в данном случае отбросить.

Перейдем теперь к определению функции Подставив значение в первое уравнение системы найдем

Второе уравнение дает нам

Следовательно, на основании

Имея функции мы на основании (288) и (289) для того случая, когда усилия приложены лишь по опорному контуру сферической оболочки, находим

Для определения перемещений мы можем воспользоваться формулами (286) и (287) предыдущего параграфа. Таким образом, общее решение задачи о напряжениях в симметрично загруженной сферической оболочке можно считать законченным. Заметим здесь, что таким же образом решается задача о напряжениях в симметрично загруженной конической оболочке и в оболочке, имеющей тороидальную срединную поверхность. В тех случаях, когда толщина оболочки весьма мала по сравнению с радиусом и центральный угол, соответствующий оболочке, не мал, выгодно вместо намеченного здесь решения воспользоваться асимптотическим интегрированием уравнения (290). Наконец,

к решению той же задачи могут быть применены приближенные приемы интегрирования соответствующих уравнений, основанные на пользовании конечными разностями. Эти приемы дают возможность найти приближенные значения напряжений в случае переменной оболочки.