§ 49. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки

Обратимся теперь к более общей задаче, когда изгибающие нагрузки любым образом распределены по поверхности пластинки и направлены нормально к ней и, кроме того, имеются силы и пары сил, приложенные по контуру пластинки. Двумя парами плоскостей, параллельных выделим из пластинки бесконечно малый элемент (рис. 87) и составим для него дифференциальные уравнения равновесия. Усилия, приходящиеся на какую-либо из боковых граней выделенного элемента, мы всегда можем привести к силе, приложенной в центре грани, и к паре сил. Для дальнейших выводов удобно разложить и силу и пару сил на составляющие, параллельные координатным осям. Обозначения для этих составляющих установим на основании подробного рассмотрения усилий, действующих по граням элемента, совпадающим с плоскостями Возьмем первую из этих граней. По ней будут действовать нормальные напряжения и касательные напряжения

Рис. 87.

Совокупность всех усилий, соответствующих напряжениям дает нам составляющую равнодействующей силы в направлении оси х. Две другие составляющие будут соответствовать напряжениям Введем для этих составляющих такие обозначения:

Следовательно, представляет собой отнесенную к единице длины силу, растягивающую пластинку в направлении оси х. Величины суть

отнесенные к единице длины касательные силы. Из них стремится вызвать сдвиг в срединной плоскости пластинки, сила направлена перпендикулярно к пластинке и мы ее в дальнейшем будем называть перерезывающей силой. Положительные направления силы и соответственно принятому ранее обозначению для напряжений, представлены стрелками на рис. 88 (для упрощения на рисунке сохранено лишь пересечение выделенного из пластинки элемента со срединной плоскостью).

Рис. 88.

Рис. 89.

Совершенно таким же способом вводим обозначения для сил и соответствующих грани элемента, совпадающей с плоскостью

Принимая во внимание равенство заключаем, Направления и даны на рис. 88. Для двух других боковых граней выделенного элемента получим усилия, если к величинам присоединим бесконечно малые приращения, соответствующие изменениям координат на величины Таким образом, вместо будем иметь величины

Перейдем теперь к составлению моментов усилий, приложенных к граням выделенного элемента. Для грани, совпадающей с плоскостью введем такие обозначенияз

Таким образом, представляют собой отнесенные к единице длины моменты приложенных к грани усилий относительно осей, параллельных является изгибающим скручивающим моментами. Направления моментов, принятые за положительные, указаны стрелками (рис. 89). Что касается момента тех же усилий относительно оси, параллельной оси z, то он при бесконечно малом размере представляет собой бесконечно малую величину высшего порядка, которой можно пренебречь.

Для грани, совпадающей с плоскостью соответствующие моменты обозначим так?

Моменты для двух других граней элемента получим, если к величинам присоединим соответствующие приращения.

Кроме сил, приложенных по боковым граням элемента, на элемент будет действовать еще нагрузка, изгибающая пластинку. Мы предположили, что нагрузка является нормальной к поверхности пластинки, интенсивность нагрузки обозначим через В таком случае на выделенный элемент будет действовать внешняя сила параллельная оси z.

Составим теперь уравнения равновесия для выделенного элемента. Проектируя все приложенные к элементу силы на направления координатных осей, мы на основании принятых обозначений получаем

Составляя моменты тех же сил относительно осей и отбрасывая малые величины высших порядков, приходим к таким уравнениям:

Первые два уравнения системы (202) связывают между собой силы, лежащие в срединной плоскости пластинки. Это те самые уравнения, с которыми мы имели дело при решении плоской задачи (см. Соответствующие им деформации не сопровождаются искривлением срединной плоскости пластинки. Изгиб пластинки определяется величинами, входящими в третье из уравнений (202) и в уравнения (203).

Таким образом, все силы разделились на две группы. Первой группе соответствуют деформации в плоскости пластинки, второй — изгиб пластинки. Каждая группа уравнений решается особо и полные напряжения получатся путем сложения напряжений соответствующей плоской задачи с напряжениями изгиба. Такое разделение уравнений на две группы явилось следствием того, что мы при составлении уравнений равновесия пренебрегали теми изменениями в направлениях сил которые являются следствием изгиба пластинки. В дальнейшем мы учтем это обстоятельство и выясним влияние сил на изгиб пластинки. Здесь же займемся исследованием изгиба пластинки под действием только поперечных нагругок, для чего обратимся к третьему уравнению системы (202) и к уравнениям (203). Исключив из них величины придем к такому дифференциальному уравнению равновесия:

Уравнение это, полученное на основании условий равновесия выделенного нами элемента, включает три неизвестные величины и нам для дальнейшего решения задачи необходимо установить между этими величинами дополнительные зависимости, что возможно сделать, если обратиться к деформациям пластинки. Связь между моментами и и прогибами пластинки установим приближенным способом, положив в основу наших дальнейших выводов гипотезу, аналогичную гипотезе плоских сечений, на которой построена приближенная теория изгиба балок.

Мы видели, что в случае чистого изгиба (§ 48) сечения пластинки, параллельные остаются плоскими и устанавливаются нормально к срединной

поверхности искривленной пластинки Следовательно, всякий линейный элемент пластинки, перпендикулярный к срединной плоскости, остается при этом прямым и располагается нормально к искривленной срединной поверхности, которая играет роль нейтрального слоя пластинки. Допустим, что в том более общем случае, которым мы занимаемся сейчас, явление изгиба происходит таким же точно образом. Тогда удлинения элементов пластинки, параллельных осям х и у, и соответствующие им напряжения останутся такими же, как и в случае чистого изгиба (формулы (196)), и мы получим для моментов прежние выражения (198).

Рис. 90.

Что касается момента то для его вычисления необходимо составить выражение для сдвигающих напряжений Соответствующий сдвиг определяется формулой

где и выражения для перемещений рассматриваемой точки пластинки по направлениям, параллельным осям х и у.

Перемещения эти легко находятся, если воспользоваться приведенной выше гипотезой. Предположим, что А В (рис. 90) представляет сечение срединной поверхности изогнутой пластинки плоскостью, параллельной zx. Какой-либо линейный элемент пластинки, перпендикулярный к срединной плоскости ху, после изгиба займет наклонное положение нормальное к искривленной срединной поверхности. Так как срединная поверхность, по нашему предположению, не испытывает никаких растяжений и прогибы пластинки весьма малы, то перемещение какой-либо точки взятой на линейном элементе по направлению оси х будет зависеть лишь от поворота на угол

Следовательно,

Таким же образом найдем

Для сдвига и сдвигающих напряжений получаем

Следовательно,

Подставив найденные выражения для моментов в уравнение (204), придем к такому дифференциальному уравнению для изогнутой поверхности пластинки:

Уравнение это играет в теории изгиба пластинок такую же роль, что и уравнение (4) при исследовании изгиба балок. Если для какого-либо случая удается найти решение уравнения (206), то при помощи формул (198) и (205) сейчас же находятся моменты и соответствующие им напряжения.

Перерезывающие силы найдутся из уравнений (203). Подставляя в них значения и получаем

В заключение приведем выражение для потенциальной энергии изогнутой пластинки. Энергия, накопляемая в выделенном нами элементе, распадается на две части. Одна часть, соответствующая силам , представляет собой энергию деформации в плоскости пластинки. Другая часть, обусловленная моментами силами представляет энергию изгиба, для которой мы желаем составить выражение. Роль перерезывающих сил невелика, и потому в дальнейшем мы примем в расчет лишь энергию, соответствующую моментам.

Работу изгибающих моментов можем представить такой же формулой, как и в случае чистого изгиба [формула (201)]. Что касается работы скручивающего момента то ее подсчитаем так. Выделим из элемента бесконечно тонкий слой, параллельный срединной плоскости и отстоящий от нее на z (см. рис. 87). Соответствующее сдвигающее напряжение равно энергия сдвига для выделенного тонкого слоя представится так:

Для всего элемента энергия сдвига представится таким выражением!

Присоединяя это выражение к тому, что дает формула (201), получаем для энергии изгиба, накопляемой в одном элементе пластинки, такое выражение:

Путем интегрирования легко может быть получена энергия изгиба, накопляемая всей пластинкой.