§ 59. Решение задачи при помощи целых полиномов

В тех случаях, когда высота цилиндра мала по сравнению с его диаметром и цилиндр имеет, следовательно, форму круглого диска или пластинки 2, наиболее существенным является удовлетворение условий на основаниях цилиндра.

При определении напряжений в таких случаях выгодно пользоваться решением уравнения (108) в виде целых полиномов.

Рис. 87.

Преобразуем предварительно это уравнение, переходя от цилиндрических координат к полярным. При симметричной деформации нам приходилось определять положение точки в какой-либо меридиональной плоскости координатами Введем теперь новые координаты, радиус и угол (рис. 87). В таком случае, на основании формул (b) § 37, будем иметь

Следовательно, левая часть уравнения (108) может быть представлена в таком виде:

Рассмотрим предварительно те решения уравнения (108), которые в то же время будут и решениями уравнения

Частные решения этого последнего уравнения будем искать в форме

где обозначает неизвестную пока функцию от угла

Вставляя выражение (а) в уравнение (109), получаем для следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Уравнение это преобразуем, введя новую переменную . В таком случае

и уравнение (b) может быть представлено так:

Полученное дифференциальное уравнение будем интегрировать при помощи бесконечных рядов. Положим

Вставляя этот ряд в уравнение (110), получаем

Чтобы это равенство имело место при любом значении нужно допустить следующую зависимость между показателями т. е. ряд (с) располагается по нисходящим степеням буквы

Перенеся все члены равенства (d) в одну сторону и приравняв нулю коэффициент при определим показатель из уравнения

Получим два решения: Рассмотрим случай, соответствующий первому решению, когда

Значения коэффициентов в ряде (с) получаем из (d), сравнивая коэффициенты при различных степенях В таком случае для получим

При зависимость между двумя последовательными коэффициентами ряда (с) определится формулой

и решение (а) представится в таком виде:

Принимая во внимание, что и полагая равным получаем ряд решений уравнения (109) в виде таких целых полиномов:

Кроме таких решений, общих для уравнений (108) и (109), мы можем получить сколько угодно решений уравнения (108), не удовлетворяющих уравнению (109). Если представляет собой решение уравнения (109), то легко показать, что выражение будет решением уравнения (108). В самом деле, произведя над этим выражением операцию, указанную в левой части уравнения (109), найдем

Произведя ту же операцию еще один раз, как это предусматривается уравнением (108), мы в результате получим, очевидно, нуль. Следовательно, представляет собой решение уравнения (108), и из полиномов (112) можно получить ряд новых решений путем умножения на Таким образом, находим решения:

Комбинируя решения (112) и (113), можно разрешить ряд задач, имеющих техническое значение.